Ograničenje funkcije. Izračunavanje granica funkcija online Granica složene funkcije

Ograničenje funkcije- broj a bit će granica neke promjenljive veličine ako se, u procesu svoje promjene, ta varijabilna veličina neograničeno približava a.

Ili drugim riječima, broj A je granica funkcije y = f(x) u tački x 0, ako za bilo koji niz točaka iz domene definicije funkcije, nije jednak x 0, i koji konvergira do tačke x 0 (lim x n = x0), niz odgovarajućih vrijednosti funkcije konvergira u broj A.

Graf funkcije čija je granica, zadana argumentom koji teži beskonačnosti, jednaka L:

Značenje A je limit (granična vrijednost) funkcije f(x) u tački x 0 u slučaju bilo kojeg niza tačaka , koji konvergira sa x 0, ali koji ne sadrži x 0 kao jedan od njegovih elemenata (tj. u probijenoj blizini x 0), niz vrijednosti funkcije konvergira na A.

Granica Cauchyjeve funkcije.

Značenje A bice granica funkcije f(x) u tački x 0 ako za bilo koji nenegativan broj uzet unaprijed ε biće pronađen odgovarajući nenegativni broj δ = δ(ε) tako da za svaki argument x, zadovoljavajući uslov 0 < | x - x0 | < δ , nejednakost će biti zadovoljena | f(x)A |< ε .

Biće vrlo jednostavno ako shvatite suštinu granice i osnovna pravila za njeno pronalaženje. Koja je granica funkcije f (x) at x teži za a jednaki A, piše se ovako:

Štaviše, vrijednost kojoj varijabla teži x, može biti ne samo broj, već i beskonačnost (∞), ponekad +∞ ili -∞, ili možda uopće nema ograničenja.

Da razumem kako pronaći granice funkcije, najbolje je pogledati primjere rješenja.

Potrebno je pronaći granice funkcije f (x) = 1/x u:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Nađimo rješenje za prvu granicu. Da biste to učinili, možete jednostavno zamijeniti x broj kojem teži, tj. 2, dobijamo:

Nađimo drugu granicu funkcije. Ovdje umjesto toga zamijenite čistu 0 x nemoguće je, jer Ne možete dijeliti sa 0. Ali možemo uzeti vrijednosti bliske nuli, na primjer, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 i tako dalje, i vrijednost funkcije f (x)će se povećati: 100; 1000; 10000; 100.000 i tako dalje. Dakle, može se shvatiti da kada x→ 0 vrijednost funkcije koja je pod graničnim znakom će se neograničeno povećavati, tj. teži ka beskonačnosti. Što znači:

Što se tiče treće granice. Ista situacija kao u prethodnom slučaju, nemoguće je zamijeniti ∞ u svom najčistijem obliku. Moramo razmotriti slučaj neograničenog povećanja x. Zamjenjujemo 1000 jedan po jedan; 10000; 100000 i tako dalje, imamo tu vrijednost funkcije f (x) = 1/x smanjit će se: 0,001; 0,0001; 0,00001; i tako dalje, težeći nuli. Zbog toga:

Potrebno je izračunati granicu funkcije

Počevši rješavati drugi primjer, vidimo neizvjesnost. Odavde nalazimo najviši stepen brojnika i nazivnika - to je x 3, izvadimo ga iz zagrada u brojniku i nazivniku i onda ga smanjimo za:

Odgovori

Prvi korak pronalaženje ove granice, umjesto toga zamijenite vrijednost 1 x, što rezultira neizvjesnošću. Da bismo to riješili, faktorizirajmo brojilac i to učinimo koristeći metodu pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Dakle, brojilac će biti:

Odgovori

Ovo je definicija njene specifične vrijednosti ili određenog područja gdje funkcija pada, što je ograničeno granicom.

Da biste riješili ograničenja, slijedite pravila:

Shvativši suštinu i glavno pravila za rješavanje granice, dobićete osnovno razumevanje kako da ih rešite.

Konstantan broj A pozvao limit sekvence(x n ), ako je za bilo koji proizvoljno mali pozitivan brojε > 0 postoji broj N koji ima sve vrijednosti x n, za koje je n>N, zadovoljavaju nejednakost

|x n - a|< ε. (6.1)

Zapišite to na sljedeći način: ili x n → a.

Nejednakost (6.1) je ekvivalentna dvostrukoj nejednakosti

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

što znači da su tačke x n, počevši od nekog broja n>N, leže unutar intervala (a-ε, a+ ε ), tj. pasti u bilo koju maluε -susedstvo tačke A.

Poziva se niz koji ima ograničenje konvergentan, inače - divergentan.

Koncept granice funkcije je generalizacija koncepta granice niza, budući da se granica niza može smatrati granicom funkcije x n = f(n) cjelobrojnog argumenta n.

Neka je data funkcija f(x) i neka a - granična tačka domenu definicije ove funkcije D(f), tj. takva tačka, čije bilo koje susjedstvo sadrži točke skupa D(f) osim a. Dot a može ili ne mora pripadati skupu D(f).

Definicija 1.Konstantni broj A se zove limit funkcije f(x) at x→a, ako za bilo koji niz (x n) vrijednosti argumenata teži ka A, odgovarajući nizovi (f(x n)) imaju istu granicu A.

Ova definicija se zove definiranjem granice funkcije prema Heineu, ili " u jeziku sekvence”.

Definicija 2. Konstantni broj A se zove limit funkcije f(x) at x→a, ako, specificiranjem proizvoljno malog pozitivnog broja ε, može se naći takav δ>0 (u zavisnosti od ε), koji je za svakoga x, ležeći unutraε-susjedstva broja A, tj. Za x, zadovoljavajući nejednakost
0 < x-a< ε , vrijednosti funkcije f(x) će ležati uε-susjedstvo broja A, tj.|f(x)-A|< ε.

Ova definicija se zove definiranjem granice funkcije prema Cauchyju, ili “u jeziku ε - δ “.

Definicije 1 i 2 su ekvivalentne. Ako je funkcija f(x) kao x →a ima limit, jednako A, ovo je zapisano u obliku

. (6.3)

U slučaju da se niz (f(x n)) povećava (ili smanjuje) bez ograničenja za bilo koju metodu aproksimacije x do vaše granice A, tada ćemo reći da funkcija f(x) ima beskonačna granica, i napišite to u obliku:

Poziva se varijabla (tj. sekvenca ili funkcija) čija je granica nula beskrajno mali.

Poziva se varijabla čija je granica jednaka beskonačnosti beskonačno velika.

Za pronalaženje granice u praksi, koriste se sljedeće teoreme.

Teorema 1 . Ako svaka granica postoji

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Izrazi poput 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - su neizvjesni, na primjer, omjer dvije beskonačno male ili beskonačno velike veličine, a pronalaženje granice ovog tipa naziva se “otkrivanje nesigurnosti”.

Teorema 2. (6.7)

one. može se ići do granice na osnovu stepena sa konstantnim eksponentom, posebno, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Gdje e » 2.7 - baza prirodnog logaritma. Formule (6.10) i (6.11) se nazivaju prvim divna granica i druga izuzetna granica.

Posljedice formule (6.11) se također koriste u praksi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

posebno granica,

Ako je x → a i istovremeno x > a, zatim napiši x→a + 0. Ako je, konkretno, a = 0, onda umjesto simbola 0+0 pisati +0. Slično ako je x→a i istovremeno x a-0. Brojevi i shodno tome se zovu desna granica I lijeva granica funkcije f(x) u tački A. Da postoji granica funkcije f(x) kao x→a je neophodno i dovoljno da . Poziva se funkcija f(x). kontinuirano u tački x 0 ako je ograničenje

. (6.15)

Uslov (6.15) se može prepisati kao:

,

odnosno prelazak do granice pod znakom funkcije je moguć ako je ona kontinuirana u datoj tački.

Ako je jednakost (6.15) prekršena, onda to kažemo at x = xo funkcija f(x) Ima jaz Razmotrimo funkciju y = 1/x. Domen definicije ove funkcije je skup R, osim za x = 0. Tačka x = 0 je granična tačka skupa D(f), jer u bilo kojoj njegovoj okolini, tj. u svakom otvorenom intervalu koji sadrži tačku 0 postoje tačke iz D(f), ali on sam ne pripada ovom skupu. Vrijednost f(x o)= f(0) je nedefinirana, tako da u tački x o = 0 funkcija ima diskontinuitet.

Poziva se funkcija f(x). kontinuirano na desnoj strani u tački x o ako je granica

,

I kontinuirano na lijevoj strani u tački x o, ako je granica

.

Kontinuitet funkcije u tački xo je ekvivalentan njegovom kontinuitetu u ovoj tački i desno i lijevo.

Da bi funkcija bila kontinuirana u tački xo, na primjer, na desnoj strani, potrebno je, prvo, da postoji konačna granica, i drugo, da ta granica bude jednaka f(x o). Stoga, ako barem jedan od ova dva uvjeta nije ispunjen, funkcija će imati diskontinuitet.

1. Ako granica postoji i nije jednaka f(x o), onda to kažu funkcija f(x) u tački x o ima ruptura prve vrste, ili skok.

2. Ako je granica+∞ ili -∞ ili ne postoji, onda kažu da u tačka xo funkcija ima diskontinuitet druga vrsta.

Na primjer, funkcija y = krevetac x na x→ +0 ima granicu jednaku +∞, što znači da u tački x=0 ima diskontinuitet druge vrste. Funkcija y = E(x) (cijeli dio x) u tačkama sa celim apscisama ima diskontinuitete prve vrste, odnosno skokove.

Poziva se funkcija koja je kontinuirana u svakoj tački intervala kontinuirano V. Kontinuirana funkcija je predstavljena punom krivom.

Mnogi problemi povezani sa kontinuiranim rastom neke količine dovode do druge izuzetne granice. Takvi zadaci, na primjer, uključuju: rast depozita prema zakonu složene kamate, rast stanovništva zemlje, raspadanje radioaktivnih tvari, razmnožavanje bakterija itd.

Hajde da razmotrimo primjer Ya. I. Perelmana, dajući tumačenje broja e u problemu složene kamate. Broj e postoji granica . U štedionicama se na osnovni kapital godišnje dodaje novac od kamata. Ako se pristupanje vrši češće, kapital brže raste, jer je veći iznos uključen u formiranje kamate. Uzmimo čisto teoretski, vrlo pojednostavljen primjer. Neka se u banci položi 100 deniera. jedinice na bazi 100% godišnje. Ako se novac od kamata doda osnovnom kapitalu tek nakon godinu dana, onda do ovog perioda 100 den. jedinice pretvoriće se u 200 novčanih jedinica. Sada da vidimo u šta će se 100 denize pretvoriti. jedinica, ako se novac od kamata dodaje osnovnom kapitalu svakih šest mjeseci. Nakon šest meseci, 100 den. jedinice porasti na 100× 1,5 = 150, a nakon još šest mjeseci - na 150× 1,5 = 225 (den. jedinica). Ako se pristupanje vrši svake 1/3 godine, onda nakon godine 100 den. jedinice pretvoriće se u 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. jedinice). Povećaćemo uslove za dodavanje kamate na 0,1 godinu, na 0,01 godinu, na 0,001 godinu itd. Onda od 100 den. jedinice nakon godinu dana bit će:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. jedinica),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. jedinica),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. jedinica).

Uz neograničeno smanjenje uslova za dodavanje kamate, akumulirani kapital ne raste beskonačno, već se približava određenoj granici koja iznosi otprilike 271. Kapital položen na 100% godišnje ne može se povećati za više od 2,71 puta, čak i ako se obračunata kamata dodavali su se kapitalu svake sekunde jer je granica

Primjer 3.1.Koristeći definiciju granice brojevnog niza, dokazati da niz x n =(n-1)/n ima granicu jednaku 1.

Rješenje.Moramo to dokazati, bez obzira na sveε > 0, bez obzira što uzmemo, za njega postoji prirodan broj N takav da za sve n N vrijedi nejednakost|x n -1|< ε.

Uzmimo bilo koje e > 0. Pošto je ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tada je za pronalaženje N dovoljno riješiti nejednačinu 1/n< e. Dakle n>1/ e i stoga, N se može uzeti kao cijeli broj od 1/ e , N = E(1/ e ). Time smo dokazali da je granica .

Primjer 3.2 . Pronađite granicu niza zadanog zajedničkim pojmom .

Rješenje.Primijenimo granicu teoreme o sumi i pronađemo granicu svakog člana. Kada je n→ ∞ brojilac i nazivnik svakog člana teže beskonačnosti i ne možemo direktno primijeniti teoremu o graničnoj količniku. Stoga, prvo transformiramo x n, dijeleći brojilac i imenilac prvog člana sa n 2, a drugi na n. Zatim, primjenom granice količnika i granice teoreme sume, nalazimo:

.

Primjer 3.3. . Pronađite .

Rješenje. .

Ovdje smo koristili teoremu o granici stepena: granica stepena je jednaka stepenu granice baze.

Primjer 3.4 . Pronađi ( ).

Rješenje.Nemoguće je primijeniti teoremu granične razlike, jer imamo neizvjesnost oblika ∞-∞ . Hajde da transformišemo formulu opšteg pojma:

.

Primjer 3.5 . Zadana je funkcija f(x)=2 1/x. Dokažite da nema ograničenja.

Rješenje.Koristimo definiciju 1 granice funkcije kroz niz. Uzmimo niz ( x n ) koji konvergira na 0, tj. Pokažimo da se vrijednost f(x n)= ponaša različito za različite nizove. Neka je x n = 1/n. Očigledno, onda granica Hajde sada da izaberemo kao x n niz sa zajedničkim pojmom x n = -1/n, koji takođe teži nuli. Stoga nema ograničenja.

Primjer 3.6 . Dokažite da nema ograničenja.

Rješenje.Neka je x 1 , x 2 ,..., x n ,... niz za koji
. Kako se niz (f(x n)) = (sin x n) ponaša za različite x n → ∞

Ako je x n = p n, onda je sin x n = sin p n = 0 za sve n i granica If
x n =2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 za sve n a samim tim i granica. Dakle, ne postoji.

Widget za online izračunavanje limita

U gornjem prozoru, umjesto sin(x)/x, unesite funkciju čije ograničenje želite pronaći. U donjem prozoru unesite broj na koji teži x i kliknite na dugme Kalkularni da biste dobili željeno ograničenje. A ako u prozoru rezultata kliknete na Prikaži korake u gornjem desnom uglu, dobićete detaljno rešenje.

Pravila za unos funkcija: sqrt(x) - kvadratni korijen, cbrt(x) - kubni korijen, exp(x) - eksponent, ln(x) - prirodni logaritam, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangent, cot(x) - kotangens, arcsin(x) - arksinus, arccos(x) - arckosin, arctan(x) - arktangens. Znaci: * množenje, / dijeljenje, ^ eksponencijacija, umjesto toga beskonačnost Beskonačnost. Primjer: funkcija se upisuje kao sqrt(tan(x/2)).

Funkcija y = f (x) je zakon (pravilo) prema kojem je svaki element x skupa X povezan sa jednim i samo jednim elementom y skupa Y.

Element x ∈ X pozvao argument funkcije ili nezavisna varijabla.
Element y ∈ Y pozvao vrijednost funkcije ili zavisna varijabla.

Skup X se zove domenu funkcije.
Skup elemenata y ∈ Y, koji imaju predslike u skupu X, se zove područje ili skup vrijednosti funkcije.

Poziva se stvarna funkcija ograničeno odozgo (odozdo), ako postoji broj M takav da nejednakost vrijedi za sve:
.
Poziva se funkcija broja ograničeno, ako postoji broj M takav da je za sve:
.

Gornja ivica ili tačna gornja granica Realnom funkcijom se naziva najmanji broj koji ograničava njen raspon vrijednosti odozgo. To jest, ovo je broj s za koji, za svakoga i za bilo koga, postoji argument čija vrijednost funkcije prelazi s′: .
Gornja granica funkcije može se označiti na sljedeći način:
.

Odnosno donja ivica ili tacno donja granica Realnom funkcijom se naziva najveći broj koji ograničava njen raspon vrijednosti odozdo. To jest, ovo je broj i za koji, za svakoga i za bilo koga, postoji argument čija je vrijednost funkcije manja od i′: .
Infimum funkcije može se označiti na sljedeći način:
.

Određivanje granice funkcije

Određivanje granice funkcije prema Cauchyju

Konačne granice funkcije na krajnjim tačkama

Neka je funkcija definirana u nekom susjedstvu krajnje tačke, sa mogućim izuzetkom same tačke. u točki ako za bilo koji postoji takva stvar, ovisno o , da za sve x za koje , vrijedi nejednakost
.
Granica funkcije je označena na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija granice funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Jednostrane granice.
Lijevo ograničenje u tački (lijevo ograničenje):
.
Desna granica u tački (desna granica):
.
Lijeva i desna granica se često označavaju na sljedeći način:
; .

Konačne granice funkcije u beskonačnim tačkama

Granice u tačkama u beskonačnosti određuju se na sličan način.
.
.
.
Često se nazivaju:
; ; .

Korištenje koncepta susjedstva tačke

Ako uvedemo koncept probušenog susjedstva točke, tada možemo dati jedinstvenu definiciju konačne granice funkcije u konačnim i beskonačno udaljenim točkama:
.
Ovdje za krajnje tačke
; ;
.
Bilo koja okolina tačaka u beskonačnosti je probijena:
; ; .

Beskonačna ograničenja funkcija

Definicija
Neka je funkcija definirana u nekom probušenom susjedstvu tačke (konačno ili beskonačno). Granica funkcije f (x) kao x → x 0 jednako beskonačnosti, ako je za bilo koji proizvoljno veliki broj M > 0 , postoji broj δ M > 0 , u zavisnosti od M, da za sve x koje pripadaju probušenom δ M - susjedstvu tačke: , vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Beskonačna granica se označava na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija beskonačne granice funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Također možete uvesti definicije beskonačnih granica određenih znakova jednakih i :
.
.

Univerzalna definicija granice funkcije

Koristeći koncept susjedstva točke, možemo dati univerzalnu definiciju konačne i beskonačne granice funkcije, primjenjivu i za konačne (dvostrane i jednostrane) i za beskonačno udaljene točke:
.

Određivanje granice funkcije prema Heineu

Neka je funkcija definirana na nekom skupu X:.
Broj a naziva se granica funkcije u tački:
,
ako za bilo koji niz koji konvergira na x 0 :
,
čiji elementi pripadaju skupu X: ,
.

Zapišimo ovu definiciju koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti:
.

Ako uzmemo lijevo-strano susjedstvo tačke x kao skup X 0 , tada dobijamo definiciju lijeve granice. Ako je dešnjak, onda dobijamo definiciju desne granice. Ako okolinu beskonačne tačke uzmemo kao skup X, dobićemo definiciju granice funkcije u beskonačnosti.

Teorema
Cauchy i Heine definicije granice funkcije su ekvivalentne.
Dokaz

Svojstva i teoreme granice funkcije

Nadalje, pretpostavljamo da su funkcije koje se razmatraju definirane u odgovarajućem susjedstvu tačke, koja je konačan broj ili jedan od simbola: . Također može biti jednostrana granična točka, odnosno imati oblik ili . Susjedstvo je dvostrano za dvostrano ograničenje i jednostrano za jednostrano ograničenje.

Osnovna svojstva

Ako su vrijednosti funkcije f (x) promijeniti (ili učiniti nedefiniranim) konačan broj točaka x 1, x 2, x 3, ... x n, tada ova promjena neće utjecati na postojanje i vrijednost granice funkcije u proizvoljnoj tački x 0 .

Ako postoji konačna granica, onda postoji probušena okolina tačke x 0 , na kojoj je funkcija f (x) ograničeno:
.

Neka funkcija ima u tački x 0 konačna granica koja nije nula:
.
Tada, za bilo koji broj c iz intervala , postoji takva probušena okolina tačke x 0 , zašto ,
, Ako ;
, Ako .

Ako, na nekom probušenom susjedstvu točke, , je konstanta, onda .

Ako postoje konačne granice i i na nekom probušenom susjedstvu točke x 0
,
To .

Ako , i na nekom susjedstvu točke
,
To .
Posebno, ako je u nekom susjedstvu tačke
,
onda ako , onda i ;
ako , onda i .

Ako na nekom probušenom susjedstvu tačke x 0 :
,
i postoje konačne (ili beskonačne određenog predznaka) jednake granice:
, To
.

Na stranici su dati dokazi o glavnim svojstvima
"Osnovna svojstva granica funkcije."

Aritmetička svojstva granice funkcije

Neka su funkcije i definirane u nekom probušenom susjedstvu točke . I neka postoje konačne granice:
i .
I neka je C konstanta, odnosno dati broj. Onda
;
;
;
, Ako .

Ako onda.

Na stranici su dati dokazi aritmetičkih svojstava
"Aritmetička svojstva granica funkcije".

Cauchyjev kriterij za postojanje limita funkcije

Teorema
Da bi funkcija definirana na nekom probušenom susjedstvu konačne ili beskonačne točke x 0 , imala konačnu granicu u ovoj tački, potrebno je i dovoljno da za bilo koje ε > 0 bilo je tako probušeno susjedstvo tačke x 0 , da za bilo koju tačku i iz ove okoline vrijedi sljedeća nejednakost:
.

Granica složene funkcije

Teorema o granici kompleksne funkcije
Neka funkcija ima granicu i preslikajte probušenu okolinu tačke na probušenu okolinu tačke. Neka je funkcija definirana u ovom susjedstvu i neka ima ograničenje na nju.
Evo konačnih ili beskonačno udaljenih tačaka: . Susjedstva i njihove odgovarajuće granice mogu biti dvostrane ili jednostrane.
Tada postoji granica kompleksne funkcije i ona je jednaka:
.

Granična teorema kompleksne funkcije primjenjuje se kada funkcija nije definirana u točki ili ima vrijednost različitu od granične. Da bi se primijenila ova teorema, mora postojati probušeno susjedstvo tačke u kojoj skup vrijednosti funkcije ne sadrži tačku:
.

Ako je funkcija kontinuirana u tački, tada se znak ograničenja može primijeniti na argument kontinuirane funkcije:
.
Sljedeća je teorema koja odgovara ovom slučaju.

Teorema o granici kontinuirane funkcije funkcije
Neka postoji granica funkcije g (t) kao t → t 0 , i jednako je x 0 :
.
Ovdje je tačka t 0 može biti konačan ili beskonačno udaljen: .
I neka funkcija f (x) je kontinuirana u tački x 0 .
Tada postoji granica kompleksne funkcije f (g(t)), i jednako je f (x0):
.

Na stranici su dati dokazi teorema
"Granica i kontinuitet složene funkcije".

Beskonačno male i beskonačno velike funkcije

Infinitezimalne funkcije

Definicija
Za funkciju se kaže da je beskonačno mala ako
.

Zbir, razlika i proizvod konačnog broja infinitezimalnih funkcija na je infinitezimalna funkcija na .

Proizvod ograničene funkcije na nekom probušenom susjedstvu točke , na infinitezimalnu na je infinitezimalna funkcija na .

Da bi funkcija imala konačan limit, potrebno je i dovoljno da
,
gdje je infinitezimalna funkcija na .

"Svojstva infinitezimalnih funkcija".

Beskonačno velike funkcije

Definicija
Za funkciju se kaže da je beskonačno velika ako
.

Zbir ili razlika ograničene funkcije, na nekom probušenom susjedstvu točke , i beskonačno velike funkcije u je beskonačno velika funkcija na .

Ako je funkcija beskonačno velika za , i funkcija je ograničena na nekom probušenom susjedstvu točke , tada
.

Ako funkcija , na nekom probušenom susjedstvu točke , zadovoljava nejednakost:
,
a funkcija je beskonačno mala na:
, i (na nekom probušenom susjedstvu tačke), zatim
.

Dokazi o svojstvima su predstavljeni u odjeljku
"Svojstva beskonačno velikih funkcija".

Odnos između beskonačno velikih i beskonačno malih funkcija

Iz prethodna dva svojstva slijedi veza između beskonačno velikih i infinitezimalnih funkcija.

Ako je funkcija beskonačno velika na , tada je funkcija beskonačno mala na .

Ako je funkcija beskonačno mala za , I , Tada je funkcija beskonačno velika za .

Odnos između beskonačno male i beskonačno velike funkcije može se izraziti simbolički:
, .

Ako infinitezimalna funkcija ima određeni predznak na , to jest, pozitivna je (ili negativna) na nekom probušenom susjedstvu točke , tada se ta činjenica može izraziti na sljedeći način:
.
Na isti način, ako beskonačno velika funkcija ima određeni predznak na , tada pišu:
.

Tada se simbolička veza između beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija može dopuniti sljedećim relacijama:
, ,
, .

Dodatne formule koje se odnose na simbole beskonačnosti možete pronaći na stranici
"Tačke na beskonačnost i njihova svojstva."

Granice monotonih funkcija

Definicija
Poziva se funkcija definirana na nekom skupu realnih brojeva X striktno raste, ako je za sve takvo da vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Shodno tome, za striktno opadajuće funkcija vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Za neopadajući:
.
Za bez povećanja:
.

Iz toga slijedi da je striktno rastuća funkcija također neopadajuća. Strogo opadajuća funkcija također nije rastuća.

Funkcija se poziva monotono, ako se ne smanjuje ili ne raste.

Teorema
Neka funkcija ne smanjuje na intervalu gdje .
Ako je odozgo ograničen brojem M: onda postoji konačna granica. Ako nije ograničeno odozgo, onda .
Ako je odozdo ograničen brojem m: onda postoji konačna granica. Ako nije ograničeno odozdo, onda .

Ako su tačke a i b beskonačne, onda u izrazima granični znaci znače da .
Ova teorema se može formulirati kompaktnije.

Neka funkcija ne smanjuje na intervalu gdje . Tada postoje jednostrane granice u tačkama a i b:
;
.

Slična teorema za nerastuću funkciju.

Neka funkcija ne raste na intervalu gdje . Zatim postoje jednostrane granice:
;
.

Dokaz teoreme je predstavljen na stranici
"Granice monotonih funkcija".

Reference:
L.D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolsky. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 1983.

Rješenje ograničenja online funkcija. Pronađite graničnu vrijednost funkcije ili funkcionalnog niza u točki, izračunajte krajnji vrijednost funkcije u beskonačnosti. određivanje konvergencije niza brojeva i još mnogo toga se može učiniti zahvaljujući našoj online usluzi -. Omogućavamo vam da brzo i precizno pronađete ograničenja funkcija na mreži. Vi sami unosite varijablu funkcije i granicu kojoj ona teži, a naš servis za vas vrši sve proračune, dajući tačan i jednostavan odgovor. I za pronalaženje granice na mreži možete unijeti i numeričke serije i analitičke funkcije koje sadrže konstante u doslovnom izrazu. U ovom slučaju, pronađeno ograničenje funkcije će sadržavati ove konstante kao konstantne argumente u izrazu. Naša usluga rješava sve složene probleme pronalaženja ograničenja na mreži, dovoljno je naznačiti funkciju i tačku u kojoj je potrebno izračunati granična vrijednost funkcije. Računanje online ograničenja, možete koristiti različite metode i pravila za njihovo rješavanje, dok provjeravate rezultat dobiven sa rješavanje ograničenja na mreži na www.site, što će dovesti do uspješnog završetka zadatka - izbjeći ćete vlastite greške i administrativne greške. Ili nam možete u potpunosti vjerovati i koristiti naš rezultat u svom radu, bez trošenja dodatnog truda i vremena na samostalno izračunavanje granice funkcije. Dozvoljavamo unos graničnih vrijednosti kao što je beskonačnost. Potrebno je unijeti zajednički član brojevnog niza i www.site izračunat će vrijednost limit online na plus ili minus beskonačnost.

Jedan od osnovnih koncepata matematičke analize je ograničenje funkcije I granica sekvence u tački i u beskonačnosti, važno je biti u stanju ispravno riješiti granice. Uz našu uslugu to neće biti teško. Odluka je doneta ograničenja na mreži u roku od nekoliko sekundi, odgovor je tačan i potpun. Proučavanje matematičke analize počinje sa prelazak do granice, granice se koriste u gotovo svim oblastima više matematike, pa je korisno imati server pri ruci online limit rješenja, što je stranica.

Granica funkcije u tački i na

Granica funkcije je glavni aparat matematičke analize. Uz njegovu pomoć naknadno se utvrđuje kontinuitet funkcije, derivacija, integral i zbir niza.

Neka je funkcija y=f(x)definisano u nekom susedstvu tačke , osim možda same tačke .

Formulirajmo dvije ekvivalentne definicije granice funkcije u tački.

Definicija 1 (na "jeziku sekvenci", ili prema Heineu). Broj b pozvao granica funkcije y=f(x) u tački (ili kada
), ako je za bilo koji niz valjanih vrijednosti argumenata

converging to (oni.
), niz odgovarajućih vrijednosti funkcije
konvergira u broj b(oni.
).

U ovom slučaju pišu
ili
at
. Geometrijsko značenje granice funkcije:
znači da za sve tačke X, dovoljno blizu tačke , odgovarajuće vrijednosti funkcije se razlikuju koliko god želite od broja b.

Definicija 2 (na "jeziku“, ili prema Cauchyju). Broj b pozvao granica funkcije y=f(x) u tački (ili kada
), ako za bilo koji pozitivan broj  postoji pozitivan broj  takav da za sve
zadovoljavanje nejednakosti
, vrijedi nejednakost
.

Zapiši
.

Ova definicija se može ukratko napisati na sljedeći način:

primeti, to
može se napisati ovako
.

G geometrijsko značenje granice funkcije:
, ako je za bilo koju  susjedstvo točke b postoji takva susedstvo tačke to je za sve
iz ovog susjedstva odgovarajuće vrijednosti funkcije f (x) leže u  susjedstvu tačke b. Drugim riječima, tačke na grafu funkcije y = f (x) leže unutar trake širine 2 ograničene pravim linijama at = b + , at = b  (Slika 17). Očigledno, vrijednost  zavisi od izbora , pa pišu  = ().

Primjer Dokaži to

Rješenje . Uzmimo proizvoljan   0 i nađimo  = ()  0 tako da za sve X
, vrijedi nejednakost
. Od od

one.
, zatim uzimanje , vidimo to kod svih X, zadovoljavajući nejednakost
, vrijedi nejednakost
. dakle,

Primjer Dokaži da ako f (x) = With, To
.

Rješenje . Za
možeš to uzeti
. Zatim u

imamo . dakle,
.

U definiranju granice funkcije
Vjeruje se da X teži za na bilo koji način: ostaje manje od (sa leve strane ), veci nego (desno od ), ili fluktuacije oko tačke .

Postoje slučajevi kada je metoda aproksimacije argumenta X To značajno utiče na vrednost limita funkcije. Stoga se uvode koncepti jednostranih granica.

Definicija. Broj pozvao granica funkcije y=f(x) lijevo u tački , ako za bilo koji broj   0 postoji broj  = ()  0 takav da za
, vrijedi nejednakost
.

Ograničenje lijevo je napisano na sljedeći način
ili ukratko
(Dirichletova notacija) (Slika 18).

Definisano slično granica funkcije na desnoj strani , napišimo to pomoću simbola:

Ukratko, granica na desnoj strani je označena
.

P Pozivaju se granice funkcije s lijeve i desne strane jednosmjerne granice . Očigledno, ako postoji
, tada postoje obje jednostrane granice, i
.

Obratno je također istinito: ako postoje obje granice
I
i oni su jednaki, onda postoji granica
i .

Ako
, To
ne postoji.

Definicija. Neka funkcija y=f(x) je definisan u intervalu
. Broj b pozvao granica funkcije y=f(x) at X , ako za bilo koji broj   0 postoji takav broj M = M()  0, što za sve X, zadovoljavajući nejednakost
važi nejednakost
. Ukratko se ova definicija može napisati na sljedeći način:

E ako X +, onda pišu
, Ako X , onda pišu
, Ako
=
, tada se obično označava njihovo opšte značenje
.

Geometrijsko značenje ove definicije je sljedeće: for
, to u
I
odgovarajuće vrijednosti funkcije y=f(x) spadaju u  susjedstvo tačke b, tj. tačke grafa leže u traci širine 2, ograničenoj pravim linijama
I
(Slika 19).