Dom » Glavne vrste alergena » Uvod u topologiju (za glupane i humaniste). Teorija skupova za početnike Teorija skupova osnovne definicije svojstava operacije

Uvod u topologiju (za glupane i humaniste). Teorija skupova za početnike Teorija skupova osnovne definicije svojstava operacije

Matematička analiza je grana matematike koja se bavi proučavanjem funkcija na temelju ideje o infinitezimalnoj funkciji.

Osnovni pojmovi matematičke analize su količina, skup, funkcija, infinitezimalna funkcija, limit, derivacija, integral.

Veličina Sve što se može mjeriti i izraziti brojem naziva se.

Puno je skup nekih elemenata ujedinjenih nekom zajedničkom značajkom. Elementi skupa mogu biti brojevi, figure, predmeti, pojmovi itd.

Skupovi se označavaju velikim, a elementi skupa malim slovima. Elementi skupova nalaze se u vitičastim zagradama.

Ako element x pripada skupu x, pa piši x∈x (∈ - pripada).
Ako je skup A dio skupa B, onda napiši A ⊂ B (⊂ - sadržano).

Skup se može definirati na jedan od dva načina: nabrajanjem i korištenjem definirajućeg svojstva.

Na primjer, sljedeći skupovi navedeni su nabrajanjem:

A=(1,2,3,5,7) - skup brojeva
H=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - skup nekih elemenata x 1 ,x 2 ,...,x n
N=(1,2,...,n) — skup prirodnih brojeva
Z=(0,±1,±2,...,±n) — skup cijelih brojeva

Skup (-∞;+∞) je tzv brojevni pravac, a bilo koji broj je točka na ovom pravcu. Neka je a proizvoljna točka na brojevnom pravcu, a δ pozitivan broj. Interval (a-δ; a+δ) naziva se δ-okolica točke a.

Skup X je ograničen odozgo (odozdo) ako postoji broj c takav da za bilo koji x ∈ X vrijedi nejednakost x≤s (x≥c). Broj c se u ovom slučaju naziva gornji (donji) rub skup X. Skup omeđen i gore i dole naziva se ograničeno. Najmanje (najveće) od gornjih (donjih) lica skupa naziva se točan gornji (donji) rub ovog mnoštva.

Osnovni skupovi brojeva

N	(1,2,3,...,n) Skup svih
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Postavite cijeli brojevi. Skup cijelih brojeva uključuje skup prirodnih brojeva.
Q	Gomila racionalni brojevi. Osim cijelih brojeva, postoje i razlomci. Razlomak je izraz oblika gdje str- cijeli broj, q- prirodno. Decimalni se razlomci također mogu napisati kao . Na primjer: 0,25 = 25/100 = 1/4. Cijeli brojevi također se mogu napisati kao . Na primjer, u obliku razlomka s nazivnikom "jedan": 2 = 2/1. Dakle, bilo koji racionalni broj može se napisati kao decimalni razlomak - konačni ili beskonačno periodični.
R	Dosta svih realni brojevi. Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični razlomci. To uključuje: Zajedno, dva skupa (racionalni i iracionalni brojevi) tvore skup realnih (ili realnih) brojeva.

Ako skup ne sadrži niti jedan element, tada se poziva prazan skup i bilježi se Ø .

Elementi logičke simbolike

Zapis ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kvantifikator

Kvantifikatori se često koriste pri pisanju matematičkih izraza.

Kvantifikator naziva se logički simbol koji karakterizira elemente koji mu slijede u kvantitativnom smislu.

∀- opći kvantifikator, koristi se umjesto riječi “za svakoga”, “za svakoga”.
∃- kvantifikator postojanja, koristi se umjesto riječi "postoji", "dostupan je". Također se koristi kombinacija simbola ∃!, koja se čita kao da postoji samo jedna.

Postavite operacije

Dva skupovi A i B su jednaki(A=B) ako se sastoje od istih elemenata.
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) onda je A=B.

Po uniji (zbroj) skupovi A i B je skup A ∪ B čiji elementi pripadaju barem jednom od tih skupova.
Na primjer, ako je A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), tada je A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Raskrižjem (proizvod) skupovi A i B nazivamo skup A ∩ B, čiji elementi pripadaju i skupu A i skupu B.
Na primjer, ako je A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), tada je A ∩ B = (2,4)

Po razlici Skupovi A i B nazivaju se skup AB, čiji elementi pripadaju skupu A, ali ne pripadaju skupu B.
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), tada je AB = (1,2)

Simetrična razlika skupova A i B naziva se skup A Δ B, koji je unija razlika skupova AB i BA, odnosno A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), tada je A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

Svojstva skupovnih operacija

Svojstva komutabilnosti

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Odgovarajuća nekretnina

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Prebrojivi i neprebrojivi skupovi

Da bi se usporedila bilo koja dva skupa A i B, uspostavlja se podudarnost između njihovih elemenata.

Ako je ova korespondencija jedan-na-jedan, tada se skupovi nazivaju ekvivalentni ili jednako moćni, A B ili B A.

Primjer 1

Skup točaka na kraku BC i hipotenuzi AC trokuta ABC jednake su snage.

Po obrazovanju sam teorijski fizičar, ali imam dobro matematičko znanje. Na magistarskom studiju jedan od predmeta bila je filozofija, trebalo je izabrati temu i predati rad na njoj. Budući da se o većini opcija raspravljalo više puta, odlučio sam odabrati nešto egzotičnije. Ne pretvaram se da sam nova, samo sam uspio nakupiti svu/skoro svu dostupnu literaturu o ovoj temi. Filozofi i matematičari mogu me gađati kamenjem, samo ću biti zahvalan na konstruktivnoj kritici.

p.s. Vrlo “suh jezik”, ali sasvim čitljiv nakon sveučilišnog kurikuluma. Uglavnom su definicije paradoksa preuzete s Wikipedije (pojednostavljena formulacija i gotova TeX oznaka).

Uvod

I sama teorija skupova i paradoksi koji su joj svojstveni pojavili su se ne tako davno, prije nešto više od sto godina. Međutim, u tom je razdoblju prijeđen dug put; teorija skupova, na ovaj ili onaj način, zapravo je postala temelj većine grana matematike. Njegovi paradoksi povezani s Cantorovom beskonačnošću uspješno su objašnjeni u doslovno pola stoljeća.

Trebali bismo početi s definicijom.

Što je set? Pitanje je vrlo jednostavno, odgovor je prilično intuitivan. Skup je određeni skup elemenata predstavljenih jednim objektom. Cantor u svom djelu Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre daje definiciju: pod "skupom" podrazumijevamo povezivanje u određenu cjelinu M određenih jasno razlučivih objekata m naše kontemplacije ili našeg mišljenja (koji ćemo nazvati "elementima" skupa M). Kao što vidimo, bit se nije promijenila, razlika je samo u onom dijelu koji ovisi o svjetonazoru determinatora. Povijest teorije skupova, kako u logici tako iu matematici, vrlo je kontradiktorna. Zapravo, započeo ga je Cantor u 19. stoljeću, zatim su Russell i drugi nastavili posao.

Paradoksi (logika i teorija skupova) - (grčki - neočekivano) - formalne logičke kontradikcije koje se pojavljuju u smislenoj teoriji skupova i formalnoj logici uz zadržavanje logičke ispravnosti zaključivanja. Paradoksi nastaju kada se dvije međusobno isključive (kontradiktorne) tvrdnje pokažu jednako dokazivim. Paradoksi se mogu pojaviti i unutar znanstvene teorije i u običnom razmišljanju (primjerice, Russellova parafraza njegovog paradoksa o skupu svih normalnih skupova: “Seoski brijač brije sve one i samo one stanovnike njegova sela koji se sami ne briju. Trebao bi on brijati? sebe?"). Budući da formalna logička kontradikcija uništava rasuđivanje kao sredstvo otkrivanja i dokazivanja istine (u teoriji u kojoj se pojavljuje paradoks, svaka je rečenica, istinita i netočna, dokaziva), postavlja se zadatak identificiranja izvora takvih proturječja i pronalaženja načina eliminirati ih. Problem filozofskog razumijevanja konkretnih rješenja paradoksa jedan je od važnih metodoloških problema formalne logike i logičkih temelja matematike.

Svrha ovog rada je proučavanje paradoksa teorije skupova kao nasljednika drevnih antinomija i posve logičnih posljedica prelaska na novu razinu apstrakcije – beskonačnost. Zadatak je razmotriti glavne paradokse i njihovu filozofsku interpretaciju.

Osnovni paradoksi teorije skupova

Brijač brije samo one ljude koji se sami ne briju. Brije li se sam?

Nastavimo s kratkim izletom u povijest.

Neki od logičkih paradoksa poznati su od davnina, ali zbog činjenice da je matematička teorija bila ograničena na aritmetiku i geometriju, bilo ih je nemoguće povezati s teorijom skupova. U 19. stoljeću situacija se radikalno promijenila: Cantor je u svojim djelima dosegao novu razinu apstrakcije. Uveo je koncept beskonačnosti, čime je stvorio novu granu matematike i time omogućio usporedbu različitih beskonačnosti pomoću koncepta "moći skupa". Međutim, pritom je iznjedrio mnoge paradokse. Prvi je tzv Paradoks Burali-Forti. U matematičkoj literaturi postoje različite formulacije koje se temelje na različitoj terminologiji i pretpostavljenom skupu poznatih teorema. Evo jedne od formalnih definicija.

Može se dokazati da ako je x proizvoljan skup rednih brojeva, tada je skup zbroja redni broj veći ili jednak svakom od elemenata x. Pretpostavimo sada da je to skup svih rednih brojeva. Tada je redni broj veći ili jednak bilo kojem od brojeva u . Ali onda i je redni broj, i već je strogo veći, i stoga nije jednak niti jednom od brojeva u . Ali to proturječi uvjetu prema kojem – skup svih rednih brojeva.

Suština paradoksa je u tome što formiranjem skupa svih rednih brojeva nastaje novi redni tip koji još nije bio među “svim” transfinitnim rednim brojevima koji su postojali prije formiranja skupa svih rednih brojeva. Taj je paradoks otkrio sam Cantor, neovisno ga je otkrio i objavio talijanski matematičar Burali-Forti, a pogreške potonjeg ispravio je Russell, nakon čega je formulacija dobila svoj konačni oblik.

Među svim pokušajima da se takvi paradoksi izbjegnu i donekle pokušaju objasniti, najveću pozornost zaslužuje ideja već spomenutog Russella. Predložio je isključivanje iz matematike i logike impdikativnih rečenica u kojima definicija elementa skupa ovisi o potonjem, što uzrokuje paradokse. Pravilo glasi ovako: “nijedan skup C ne može sadržavati elemente m koji su definirani samo u terminima skupa C, kao ni elemente n koji pretpostavljaju ovaj skup u svojoj definiciji.” Takvo ograničenje definicije skupa omogućuje izbjegavanje paradoksa, ali istodobno značajno sužava opseg njegove primjene u matematici. Osim toga, to nije dovoljno da objasni njihovu prirodu i razloge njihove pojave, ukorijenjene u dihotomiji mišljenja i jezika, u značajkama formalne logike. Do neke mjere, ovo se ograničenje može pratiti analogijom s onim što su kasniji kognitivni psiholozi i lingvisti počeli nazivati "kategorizacijom osnovne razine": definicija je svedena na koncept koji je najlakši za razumijevanje i proučavanje.

Pretpostavimo da skup svih skupova postoji. U ovom slučaju, , je točno, to jest, svaki skup t je podskup od V. Ali iz ovoga slijedi da snaga bilo kojeg skupa ne prelazi snagu od V. Ali na temelju aksioma skupa svih podskupova, za V, kao i svaki skup, postoji skup svih podskupova , a po Cantorovom teoremu, što je u suprotnosti s prethodnom tvrdnjom. Posljedično, V ne može postojati, što je u suprotnosti s “naivnom” hipotezom da svaki sintaktički ispravan logički uvjet definira skup, odnosno da je za svaku formulu A koja ne sadrži y slobodna. Izvanredan dokaz nepostojanja takvih proturječja temeljen na aksiomatiziranoj Zermelo-Fraenkel teoriji skupova daje Potter.

Oba navedena paradoksa su, s logičke točke gledišta, istovjetna “Lažljivcu” ili “Brijaču”: izražena prosudba upućena je ne samo nečemu objektivnom u odnosu na njega, nego i samome sebi. Međutim, treba obratiti pozornost ne samo na logičnu stranu, već i na koncept beskonačnosti, koji je ovdje prisutan. Literatura se poziva na rad Poincaréa, u kojem on piše: "vjera u postojanje stvarne beskonačnosti... čini ove nepredikativne definicije neophodnima."
Općenito, glavne točke su:

u tim je paradoksima narušeno pravilo jasnog razdvajanja “sfera” predikata i subjekta; stupanj konfuzije je blizak zamjeni jednog koncepta drugim;
Obično se u logici pretpostavlja da u procesu zaključivanja subjekt i predikat zadržavaju svoj volumen i sadržaj, ali u ovom slučaju se događa
prijelaz iz jedne kategorije u drugu, što rezultira nedosljednošću;
prisutnost riječi "sve" ima smisla za konačan broj elemenata, ali u slučaju beskonačnog broja elemenata, moguće je imati jedan koji
za definiranje sebe zahtijevat će definiciju skupa;
krše se osnovni logički zakoni:
- zakon identiteta je povrijeđen kad se otkrije neistovjetnost subjekta i predikata;
- zakon kontradikcije – kada se s istim pravom izvode dva kontradiktorna suda;
- zakon isključenog trećeg - kada ovo treće treba priznati, a ne isključiti, jer se ni prvo ni drugo ne može priznati bez drugoga, jer pokazuju se jednako legitimnima.

Treći paradoks nazvan je po Russellu. Jedna definicija je dana u nastavku.
Neka je K skup svih skupova koji ne sadrže sami sebe kao element.Sadrži li K sebe kao element? Ako da, onda, prema definiciji K, to ne bi trebao biti element od K - kontradikcija. Ako ne, onda bi, prema definiciji K, trebao biti element od K - opet kontradikcija. Ova izjava je logično izvedena iz Cantorovog paradoksa, koji pokazuje njihov odnos. Međutim, filozofska bit očituje se jasnije, budući da se "samokretanje" pojmova događa upravo "pred našim očima".

Paradoks Tristrama Shandyja:
U Sterneovom Životu i mišljenjima Tristrama Shandyja, gospodina, junak otkriva da mu je trebala cijela godina da ispriča događaje prvog dana svog života i još jedna godina da opiše drugi dan. S tim u vezi, junak se žali da će se građa njegove biografije gomilati brže nego što je on može obraditi, a on je nikada neće moći dovršiti. “Sada tvrdim,” Russell prigovara tome, “da je živio vječno i da mu njegov rad ne bi postao teret, čak i da je njegov život nastavio biti pun događaja kao na početku, tada nijedan od dijelova njegova biografija ne bi ostala nenapisana.”
Doista, Shandy bi mogao opisati događaje n-tog dana u n-toj godini i tako bi svaki dan bio zarobljen u njegovoj autobiografiji.

Drugim riječima, kad bi život trajao vječno, imao bi godina koliko i dana.

Russell povlači analogiju između ovog romana i Zenona i njegove kornjače. Po njegovom mišljenju, rješenje leži u činjenici da je cjelina ekvivalentna svom dijelu u beskonačnosti. Oni. Samo “aksiom zdravog razuma” dovodi do kontradikcije. Međutim, rješenje problema leži u području čiste matematike. Očigledno, postoje dva skupa - godine i dani, među čijim se elementima uspostavlja korespondencija jedan prema jedan - bijekcija. Zatim, s obzirom na beskonačan život glavnog lika, postoje dva beskonačna skupa jednake snage, što, ako moć promatramo kao generalizaciju koncepta broja elemenata u skupu, rješava paradoks.

Banach-Tarski paradoks (teorem) ili paradoks udvostručenja lopte- teorem u teoriji skupova koji tvrdi da je trodimenzionalna lopta ekvivalentna dvjema svojim kopijama.
Dva podskupa euklidskog prostora nazivaju se jednako sastavljenima ako se jedan može podijeliti na konačan broj dijelova, pomaknuti ih, a drugi se od njih može sastaviti.
Točnije, dva skupa A i B su jednako sastavljeni ako se mogu prikazati kao konačna unija disjunktnih podskupova tako da je za svaki i podskup kongruentan.

Ako koristimo teorem odabira, onda definicija zvuči ovako:
Aksiom izbora implicira da postoji podjela površine jedinične sfere na konačan broj dijelova, koji se transformacijama trodimenzionalnog euklidskog prostora koje ne mijenjaju oblik tih komponenti mogu sastaviti u dvije sfere jediničnog radijusa.

Očito, s obzirom na zahtjev da ti dijelovi budu mjerljivi, ova izjava nije izvediva. Slavni fizičar Richard Feynman u svojoj je biografiji ispričao kako je svojedobno uspio dobiti spor oko razbijanja naranče na konačan broj dijelova i ponovnog sastavljanja.

U određenim se točkama ovaj paradoks koristi za opovrgavanje aksioma izbora, ali problem je u tome što ono što smatramo elementarnom geometrijom nije važno. Oni pojmovi koje smatramo intuitivnima moraju se proširiti na razinu svojstava transcendentalnih funkcija.

Kako bismo dodatno oslabili povjerenje onih koji aksiom izbora smatraju netočnim, vrijedi spomenuti teorem Mazurkiewicza i Sierpinskog, koji kaže da postoji neprazan podskup E euklidske ravnine koji ima dva disjunktna podskupa, svaki koji se mogu podijeliti na konačan broj dijelova, tako da se mogu prevesti izometrijama u pokrivanje skupa E.
U ovom slučaju dokaz ne zahtijeva korištenje aksioma izbora.
Daljnje konstrukcije temeljene na aksiomu izvjesnosti daju rješenje Banach-Tarskog paradoksa, ali nisu od tolikog interesa.

Richardov paradoks: trebate imenovati "najmanji broj koji nije naveden u ovoj knjizi." Proturječje je u tome što se s jedne strane to može učiniti, jer postoji najmanji broj naveden u ovoj knjizi. Na temelju njega možemo imenovati najmanji neimenovani. Ali ovdje nastaje problem: kontinuum je neprebrojiv; između bilo koja dva broja možete umetnuti beskonačan broj međubrojeva. S druge strane, ako bismo mogli imenovati ovaj broj, on bi automatski prešao iz klase onih koji se ne spominju u knjizi u klasu onih koji se spominju.
Grelling-Nilssonov paradoks: riječi ili znakovi mogu označavati bilo koje svojstvo, a istovremeno ga imati ili ne. Najtrivijalnija formulacija zvuči ovako: je li riječ "heterološki" (što znači "neprimjenjivo na sebe"), heterološki?.. Vrlo sličan Russellovom paradoksu zbog prisutnosti dijalektičke kontradikcije: dualnost oblika i sadržaja je prekršena. U slučaju riječi koje imaju visoku razinu apstrakcije, nemoguće je odlučiti jesu li te riječi heterologne.
Skolemov paradoks: koristeći Gödelov teorem o potpunosti i Löwenheim-Skolemov teorem, nalazimo da aksiomatska teorija skupova ostaje istinita čak i kada se samo prebrojiva zbirka skupova pretpostavlja (dostupna) za njezino tumačenje. U isto vrijeme
aksiomatska teorija uključuje već spomenuti Cantorov teorem koji nas vodi do nebrojenih beskonačnih skupova.

Rješavanje paradoksa

Stvaranje teorije skupova dovelo je do onoga što se smatra trećom krizom matematike, koja još uvijek nije riješena na zadovoljavajući način za sve.
Povijesno gledano, prvi pristup bio je teorijski skup. Temeljio se na korištenju stvarne beskonačnosti, kada se vjerovalo da je svaki beskonačni niz dovršen u beskonačnosti. Ideja je bila da se u teoriji skupova često morate baviti skupovima koji mogu biti dijelovi drugih, većih skupova. Uspješne akcije u ovom slučaju bile su moguće samo u jednom slučaju: zadani skupovi (konačni i beskonačni) su dovršeni. Određeni uspjeh bio je očit: aksiomatska teorija Zermelo-Fraenkelovih skupova, cijela matematička škola Nicolasa Bourbakija, koja postoji više od pola stoljeća i još uvijek izaziva mnogo kritika.

Logicizam je bio pokušaj da se sva poznata matematika svede na pojmove aritmetike, a zatim da se pojmovi aritmetike svedu na pojmove matematičke logike. Frege se pomno bavio time, ali nakon što je završio rad na djelu, bio je prisiljen ukazati na svoju nedosljednost nakon što je Russell ukazao na kontradikcije u teoriji. Isti Russell, kao što je ranije spomenuto, pokušao je eliminirati korištenje implicitnih definicija uz pomoć "teorije tipova". Međutim, njegovi pojmovi skupa i beskonačnosti, kao i aksiom reducibilnosti, pokazali su se nelogičnima. Glavni problem bio je u tome što nisu uzete u obzir kvalitativne razlike između formalne i matematičke logike, kao i prisutnost nepotrebnih koncepata, uključujući i one intuitivne prirode.
Kao rezultat toga, teorija logicizma nije bila u stanju eliminirati dijalektičke proturječnosti paradoksa povezanih s beskonačnošću. Postojali su samo principi i metode koji su omogućili da se riješimo barem nepredikativnih definicija. Prema vlastitom mišljenju, Russell je bio Cantorov nasljednik

Krajem 19. - početkom 20. stoljeća. Širenje formalističkog gledišta na matematiku povezano je s razvojem aksiomatske metode i programa za potkrepljivanje matematike koji je iznio D. Hilbert. O važnosti ove činjenice govori činjenica da je prvi od dvadeset i tri problema koje je postavio pred matematičku zajednicu bio problem beskonačnosti. Formalizacija je bila nužna kako bi se dokazala dosljednost klasične matematike, "isključujući iz nje svu metafiziku." S obzirom na sredstva i metode koje je Hilbert koristio, njegov se cilj pokazao fundamentalno nemogućim, ali je njegov program imao golem utjecaj na sav kasniji razvoj temelja matematike. Hilbert je dosta dugo radio na ovom problemu, u početku konstruirajući aksiomatiku geometrije. Kako je rješenje problema bilo dosta uspješno, odlučio je primijeniti aksiomatsku metodu na teoriju prirodnih brojeva. Evo što je napisao u vezi s tim: "Slijedim važan cilj: ja sam taj koji bih se želio riješiti pitanja opravdanosti matematike kao takve, pretvarajući svaku matematičku tvrdnju u strogo deducibilnu formulu." Planirano je riješiti se beskonačnosti smanjivanjem na određeni konačni broj operacija. Da bi to učinio, okrenuo se fizici s njezinim atomizmom kako bi pokazao nedosljednost beskonačnih veličina. Zapravo, Hilbert je postavio pitanje odnosa između teorije i objektivne stvarnosti.

Manje-više potpunu ideju konačnih metoda daje Hilbertov učenik J. Herbran. Pod konačnim razmišljanjem razumije zaključivanje koje zadovoljava sljedeće uvjete: logički paradoksi - uvijek se razmatra samo konačan i određen broj objekata i funkcija;

Funkcije imaju preciznu definiciju, a ta nam definicija omogućuje izračunavanje njihove vrijednosti;

Čovjek nikada ne tvrdi: "Ovaj objekt postoji", osim ako ne zna kako ga konstruirati;

Skup svih objekata X bilo koje beskonačne zbirke nikada se ne razmatra;

Ako je poznato da je neko rezoniranje ili teorem istinito za sve te X, onda to znači da se to opće rezoniranje može ponoviti za svaki pojedini X, a samo ovo opće rezoniranje treba smatrati samo uzorkom za izvođenje takvog specifičnog rezoniranja. "

No, u vrijeme svoje posljednje objave na ovom području, Gödel je već dobio svoje rezultate, u biti ponovno otkrio i potvrdio prisutnost dijalektike u procesu spoznaje. U biti, daljnji razvoj matematike pokazao je nekonzistentnost Hilbertova programa.

Što je Gödel točno dokazao? Mogu se identificirati tri glavna rezultata:

1. Gödel je pokazao nemogućnost matematičkog dokaza konzistentnosti bilo kojeg sustava dovoljno velikog da uključi svu aritmetiku, dokaza koji ne bi koristio nikakva druga pravila zaključivanja osim onih samog danog sustava. Takav dokaz, koji koristi snažnije pravilo zaključivanja, može biti koristan. Ali ako su ta pravila zaključivanja jača od logičkih sredstava aritmetičkog računa, tada neće biti povjerenja u dosljednost pretpostavki korištenih u dokazu. U svakom slučaju, ako korištene metode nisu finitističke, Hilbertov program će se pokazati neizvedivim. Gödel precizno pokazuje nekonzistentnost izračuna da bi pronašao finitistički dokaz konzistentnosti aritmetike.
2. Gödel je ukazao na temeljna ograničenja mogućnosti aksiomatske metode: sustav Principia Mathematica, kao i svaki drugi sustav uz pomoć kojeg se konstruira aritmetika, u biti je nepotpun, tj. za bilo koji konzistentni sustav aritmetičkih aksioma postoje prave aritmetike rečenice koje nisu izvedene iz aksioma ovog sustava.
3. Gödelov teorem pokazuje da nikakvo proširenje aritmetičkog sustava ne može učiniti potpunim, pa čak i ako ga ispunimo beskonačnim brojem aksioma, tada će u novom sustavu uvijek postojati istiniti položaji koji se ne mogu izvesti pomoću ovog sustav. Aksiomatski pristup aritmetici prirodnih brojeva nije u stanju pokriti cijelo područje pravih aritmetičkih sudova, a ono što razumijemo pod procesom matematičkog dokazivanja ne svodi se na korištenje aksiomatske metode. Nakon Gödelovog teorema postalo je besmisleno očekivati da se koncept uvjerljivog matematičkog dokaza može dati jednom zauvijek definiranim oblicima.

Posljednji u nizu pokušaja objašnjenja teorije skupova bio je intuicionizam.

Prošao je kroz nekoliko faza u svojoj evoluciji - poluintuicionizam, stvarni intuicionizam, ultraintuicionizam. U različitim fazama matematičari su se bavili različitim problemima, ali jedan od glavnih problema matematike je problem beskonačnosti. Matematički koncepti beskonačnosti i kontinuiteta bili su predmetom filozofske analize od svoje pojave (ideje atomista, aporije Zenona iz Eleje, infinitezimalne metode u antici, infinitezimalni račun u moderno doba, itd.). Najviše kontroverzi izazvalo je korištenje raznih vrsta beskonačnosti (potencijalne, stvarne) kao matematičkih objekata i njihova interpretacija. Svi ovi problemi, po našem mišljenju, generirani su dubljim problemom - ulogom subjekta u znanstvenoj spoznaji. Činjenica je da je krizno stanje u matematici generirano epistemološkom nesigurnošću sumjerljivosti svijeta objekta (beskonačnosti) i svijeta subjekta. Matematičar kao subjekt ima mogućnost izbora sredstava spoznaje – bilo potencijalne bilo stvarne beskonačnosti. Korištenje potencijalne beskonačnosti kao nastajanja daje mu mogućnost da izvede, konstruira beskonačan broj konstrukcija koje se mogu graditi povrh onih konačnih, a da nema konačnog koraka, bez dovršetka konstrukcije, jedino je to moguće. Korištenje stvarne beskonačnosti daje mu mogućnost da radi s beskonačnošću kao već ostvarivom, potpunom u svojoj konstrukciji, kao stvarno danom u isto vrijeme.

Na stupnju poluintuicionizma problem beskonačnosti još nije bio samostalan, već je bio isprepleten s problemom konstruiranja matematičkih objekata i metoda za njegovo opravdanje. Poluintuicionizam A. Poincaréa i predstavnika pariške škole teorije funkcija Baera, Lebesguea i Borela bio je usmjeren protiv prihvaćanja aksioma slobodnog izbora, uz pomoć kojeg se dokazuje Zermelov teorem koji izjavio je da se bilo koji skup može učiniti potpuno uređenim, ali bez naznake teorijske metode za određivanje elemenata bilo kojeg podskupa željenih mnoštva. Ne postoji način da se konstruira matematički objekt, a ne postoji ni sam matematički objekt. Matematičari su vjerovali da prisutnost ili odsutnost teorijske metode za konstruiranje niza istraživačkih objekata može poslužiti kao osnova za opravdanje ili pobijanje ovog aksioma. U ruskoj verziji, poluintuicionistički koncept u filozofskim temeljima matematike razvijen je u takvom smjeru kao efikasnostizam, koji je razvio N.N. Luzin. Učinkovitost je suprotnost glavnim apstrakcijama Cantorove doktrine beskonačnog skupa - aktualnost, izbor, transfinitna indukcija, itd.

Za efikasnostizam, epistemološki vrjednije apstrakcije su apstrakcije potencijalne izvedivosti od apstrakcije stvarne beskonačnosti. Zahvaljujući tome, postaje moguće uvesti koncept transfinitnih ordinala (beskonačnih rednih brojeva) na temelju učinkovitog koncepta rasta funkcija. Epistemološka instalacija efikasnostizma za prikaz kontinuiranog (kontinuuma) temeljila se na diskretnim sredinama (aritmetici) i deskriptivnoj teoriji skupova (funkcija) N. N. Luzina. Intuicionizam Nizozemca L. E. Ya. Brouwera, G. Weila, A. Heytinga vidi slobodno razvijajuće sekvence različitih tipova kao tradicionalni predmet proučavanja. U ovoj fazi, rješavajući prave matematičke probleme, uključujući i restrukturiranje cijele matematike na novim osnovama, intuicionisti su postavili filozofsko pitanje uloge matematičara kao subjekta spoznaje. Kakva je njegova pozicija gdje je slobodniji i aktivniji u odabiru sredstava znanja? Intuicionisti su bili prvi (i na stupnju poluintuicionizma) koji su kritizirali koncept stvarne beskonačnosti, Cantorovu teoriju skupova, videći u njoj narušavanje sposobnosti subjekta da utječe na proces znanstvenog traganja za rješenjem konstruktivnog problema. . U slučaju korištenja potencijalne beskonačnosti, subjekt se ne vara, jer je za njega ideja potencijalne beskonačnosti intuitivno puno jasnija od ideje stvarne beskonačnosti. Za intuicionista se smatra da objekt postoji ako je izravno dan matematičaru ili je poznata metoda njegove konstrukcije ili konstrukcije. U svakom slučaju, subjekt može započeti proces dovršavanja niza elemenata svog skupa. Neizgrađeni objekt za intuicioniste ne postoji. U isto vrijeme, subjekt koji radi sa stvarnom beskonačnošću bit će lišen ove mogućnosti i osjećat će dvostruku ranjivost usvojene pozicije:

1) ova beskonačna konstrukcija nikada se ne može ostvariti;
2) odlučuje operirati sa stvarnom beskonačnošću kao konačnim objektom i u tom slučaju gubi svoju specifičnost pojma beskonačnosti. Intuicionizam namjerno ograničava mogućnosti matematičara činjenicom da on može konstruirati matematičke objekte isključivo sredstvima koja su, iako dobivena uz pomoć apstraktnih pojmova, učinkovita, uvjerljiva, dokaziva, funkcionalno konstruktivna, te su praktički i sama intuitivno jasna kao konstrukcije. , konstrukcije, čija pouzdanost u praksi nema sumnje. Intuicionizam, temeljen na konceptu potencijalne beskonačnosti i konstruktivnih istraživačkih metoda, bavi se matematikom postajanja, teorija skupova se odnosi na matematiku bića.

Za intuicionista Brouwera, kao predstavnika matematičkog empirizma, logika je sekundarna; on kritizira nju i zakon isključene sredine.

U svojim pomalo mističnim djelima ne negira prisutnost beskonačnosti, ali ne dopušta njezinu aktualizaciju, već samo potencijalizaciju. Glavna stvar za njega je tumačenje i opravdanje praktično korištenih logičkih sredstava i matematičkog zaključivanja. Ograničenje koje su prihvatili intuicionisti prevladava nesigurnost korištenja koncepta beskonačnosti u matematici i izražava želju da se prevlada kriza u temelju matematike.

Ultraintuicionizam (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov i dr.) je posljednja faza razvoja intuicionizma, na kojoj se njegove glavne ideje moderniziraju, značajno nadopunjuju i transformiraju, ne mijenjajući njegovu bit, već prevladavajući nedostatke i jačajući pozitivne aspekte, vođeni kriteriji matematička strogost. Slabost pristupa intuicionista bilo je njihovo usko shvaćanje uloge intuicije kao jedinog izvora opravdanja za ispravnost i učinkovitost matematičkih metoda. Uzimajući “intuitivnu jasnoću” kao kriterij istine u matematici, intuicionisti su metodološki osiromašili sposobnosti matematičara kao subjekta spoznaje, sveli njegovu djelatnost samo na mentalne operacije temeljene na intuiciji i nisu uključili praksu u proces matematičke spoznaje. Ultraintuicionistički program za temelje matematike ruski je prioritet. Stoga su domaći matematičari, nadilazeći ograničenja intuicionizma, prihvatili učinkovitu metodologiju materijalističke dijalektike, koja ljudsku praksu prepoznaje kao izvor formiranja kako matematičkih pojmova tako i matematičkih metoda (zaključivanja, konstrukcija). Ultraintuicionisti su riješili problem postojanja matematičkih objekata, ne oslanjajući se više na neodredivi subjektivni koncept intuicije, već na matematičku praksu i specifičan mehanizam za konstruiranje matematičkog objekta - algoritam izražen izračunljivom, rekurzivnom funkcijom.

Ultraintuicionizam pojačava prednosti intuicionizma, koje se sastoje u mogućnosti sređivanja i generaliziranja metoda za rješavanje konstruktivnih problema koje koriste matematičari bilo kojeg smjera. Stoga je intuicionizam zadnjeg stupnja (ultraintuicionizam) blizak konstruktivizmu u matematici. S epistemološkog aspekta glavne ideje i načela ultraintuicionizma su: kritika klasične aksiomatike logike; korištenje i značajno jačanje (prema eksplicitnim uputama A.A. Markova) uloge apstrakcije identifikacije (mentalne apstrakcije od različitih svojstava predmeta i istodobne identifikacije zajedničkih svojstava predmeta) kao načina konstruiranja i konstruktivnog razumijevanja apstraktnih pojmova. i matematičke prosudbe; dokaz konzistentnosti konzistentnih teorija. S formalnog aspekta korištenje identifikacijske apstrakcije opravdavaju njena tri svojstva (aksioma) jednakosti - refleksivnost, tranzitivnost i simetričnost.

Da bi se riješila glavna kontradikcija u matematici u vezi s problemom beskonačnosti, koja je dovela do krize njezinih temelja, u fazi ultraintuicionizma u djelima A.N. Kolmogorov je predlagao izlaze iz krize rješavanjem problema odnosa klasične i intuicionističke logike, klasične i intuicionističke matematike. Brouwerov intuicionizam općenito je negirao logiku, ali kako nijedan matematičar ne može bez logike, u intuicionizmu se još uvijek zadržala praksa logičkog zaključivanja, dopušteni su neki principi klasične logike, koji su za svoju osnovu imali aksiomatiku. S.K. Kleene i R. Wesley čak napominju da se intuicionistička matematika može opisati u obliku nekog računa, a kalkulus je način organiziranja matematičkog znanja na temelju logike, formalizacije i njegovog oblika - algoritmizacije. Novu verziju odnosa logike i matematike u okviru intuicionističkih zahtjeva za intuitivnom jasnoćom sudova, posebice onih koji su uključivali negaciju, A.N. Kolmogorov je predložio sljedeće: predstavio je intuicionističku logiku, blisko povezanu s intuicionističkom matematikom, u obliku aksiomatskog implikativnog minimalnog računa propozicija i predikata. Time je znanstvenica predstavila novi model matematičkog znanja, nadilazeći ograničenja intuicionizma u priznavanju samo intuicije kao sredstva spoznaje i ograničenja logicizma koji apsolutizira mogućnosti logike u matematici. Ova pozicija omogućila je demonstraciju u matematičkom obliku sinteze intuitivnog i logičkog kao temelja fleksibilne racionalnosti i njezine konstruktivne učinkovitosti.

Zaključci. Stoga nam epistemološki aspekt matematičkog znanja omogućuje procjenu revolucionarnih promjena u fazi krize temelja matematike na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće. s novih pozicija u razumijevanju procesa spoznaje, prirode i uloge subjekta u njemu. Epistemološki subjekt tradicionalne teorije znanja, koji odgovara razdoblju dominacije skupovno-teorijskog pristupa u matematici, apstraktan je, nepotpun, “parcijalan” subjekt, predstavljen u subjekt-objekt odnosima, odvojen od stvarnosti apstrakcijama, logikom. , formalizam, racionalno, teorijski spoznajući svoj predmet i shvaćen kao ogledalo koje točno odražava i kopira stvarnost. U biti, subjekt je isključen iz spoznaje kao stvarnog procesa i rezultata interakcije s objektom. Ulazak intuicionizma u arenu borbe filozofskih pravaca u matematici doveo je do novog shvaćanja matematičara kao subjekta znanja – osobe koja zna, čiju filozofsku apstrakciju treba graditi takoreći iznova. Matematičar se pojavio kao empirijski subjekt, shvaćen kao cjelovita stvarna osoba, uključujući sva ona svojstva koja su apstrahirana u epistemološkom subjektu - empirijsku konkretnost, varijabilnost, povijesnost; to je aktivan i spoznavajući u stvarnom znanju, kreativan, intuitivan, inventivan subjekt. Filozofija intuicionističke matematike postala je osnova, temelj moderne epistemološke paradigme, izgrađene na konceptu fleksibilne racionalnosti, u kojoj je osoba integralni (cjeloviti) subjekt spoznaje, posjedujući nove spoznajne kvalitete, metode, postupke; sintetizira svoju apstraktno-gnoseološku i logičko-metodološku narav i formu, a istodobno dobiva egzistencijalno-antropološko i “povijesno-metafizičko” poimanje.

Važna točka je i intuicija u spoznaji, a posebno u formiranju matematičkih pojmova. Opet je tu borba s filozofijom, pokušaji da se isključi zakon isključene sredine, jer nema smisla u matematici i dolazi u nju iz filozofije. Međutim, prisutnost pretjeranog naglaska na intuiciji i nedostatak jasnih matematičkih opravdanja nisu dopustili da se matematika prenese na čvrste temelje.

Međutim, nakon pojave strogog koncepta algoritma tridesetih godina prošlog stoljeća, matematički konstruktivizam preuzeo je palicu od intuicionizma, čiji su predstavnici dali značajan doprinos suvremenoj teoriji izračunljivosti. Osim toga, sedamdesetih i osamdesetih godina 20. stoljeća otkrivene su značajne veze između nekih ideja intuicionista (čak i onih koje su se prije činile apsurdnima) i matematičke teorije topoa. Matematika pronađena u nekim topoima vrlo je slična onome što su intuicionisti pokušali stvoriti.

Kao rezultat toga, možemo izjaviti: većina gornjih paradoksa jednostavno ne postoji u teoriji skupova sa vlastitim vlasništvom. Kontroverzno je pitanje je li takav pristup konačan, pokazat će daljnji rad na ovom području.

Zaključak

Dijalektičko-materijalistička analiza pokazuje da su paradoksi posljedica dihotomije jezika i mišljenja, izraz dubokih dijalektičkih (Gödelov teorem omogućio je očitovanje dijalektike u procesu spoznaje) i epistemoloških poteškoća povezanih s konceptima subjekta i predmetnog područja. u formalnoj logici, skup (klasa) u logici i teoriji skupova, korištenjem principa apstrakcije, koji nam omogućuje uvođenje novih (apstraktnih) objekata (beskonačnost), s metodama za definiranje apstraktnih objekata u znanosti, itd. Stoga, univerzalni način eliminirati sve paradokse ne može se dati.

Je li treća kriza matematike prošla (jer je bila u uzročno-posljedičnoj vezi s paradoksima; sada su paradoksi sastavni dio) – tu se mišljenja razlikuju, iako su formalno poznati paradoksi eliminirani do 1907. godine. Međutim, sada u matematici postoje druge okolnosti koje se mogu smatrati ili krizom ili nagovještajem krize (na primjer, nedostatak strogog opravdanja za integral staze).

Što se tiče paradoksa, vrlo važnu ulogu u matematici odigrao je poznati paradoks lažljivaca, kao i cijeli niz paradoksa u tzv. naivnoj (prethodnoj aksiomatskoj) teoriji skupova, koji je uzrokovao krizu temelja (jedan od ti su paradoksi odigrali kobnu ulogu u životu G. Fregea) . No, možda jedan od najpodcijenjenijih fenomena u modernoj matematici, koji se može nazvati i paradoksalnim i kritičnim, je rješenje Paula Cohena za Hilbertov prvi problem iz 1963. godine. Točnije, ne sama činjenica odluke, već priroda te odluke.

Književnost

Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481--512, 1895.
U. Burova. Paradoksi teorije skupova i dijalektike. znanost, 1976.
DOKTOR MEDICINE. Lončar. Teorija skupova i njezina filozofija: kritički uvod. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
Žukov N.I. Filozofski temelji matematike. Mn.: Universitetskoe, 1990.
Feynman R.F., S. Iljin. Vi se, naravno, šalite, gospodine Feynman!: dogodovštine čudesnog čovjeka koje je ispričao R. Laytonu. Kolibri, 2008. (enciklopedijska natuknica).
O. M. Mizhevich. Dva načina prevladavanja paradoksa u teoriji skupova G. Cantora. Logičke i filozofske studije, (3):279--299, 2005.
S. I. Masalova. FILOZOFIJA INTUICIONISTIČKE MATEMATIKE. Bilten DSTU, (4), 2006.
Chechulin V.L. Teorija samopripadajućih skupova (temelji i neke primjene). Perm. država sveuč. – Perm, 2012.
S. N. Tronin. Kratke bilješke s predavanja iz discipline "Filozofija matematike". Kazan, 2012.
Grishin V.N., Bochvar D.A. Istraživanje teorije skupova i neklasične logike. znanost, 1976.
Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: ovaj beskrajni vijenac. Bakhrakh-M, 2001. (monografija).
Kabakov F.A., Mendelson E. Uvod u matematičku logiku. Izdavačka kuća "Science", 1976.
DA. Bočvar. O problemu paradoksa matematičke logike i teorije skupova. Matematički zbornik, 57(3):369--384, 1944.

Sadržaj članka

TEORIJA SKUPOVA. Skup se shvaća kao skup bilo kojih objekata koji se nazivaju elementima skupa. Teorija skupova bavi se proučavanjem svojstava kako proizvoljnih skupova tako i skupova posebne vrste, bez obzira na prirodu njihovih sastavnih elemenata. Terminologija i mnogi od rezultata ove teorije naširoko se koriste u matematici, kao što su račun, geometrija i teorija vjerojatnosti.

Terminologija.

Ako svaki element skupa B je element skupa A, zatim set B naziva podskup skupa A. Na primjer, ako skup A sastoji se od brojeva 1, 2 i 3, zatim ima 8 podskupova (tri sadrže 1 element, tri sadrže 2 elementa, jedan podskup je po definiciji sam skup A a osmi podskup je prazan skup koji ne sadrži elemente). Snimiti x OKO A znači da x– element skupa A, A B M A- Što B je podskup skupa A. Ako univerzalni skup iz kojeg uzimamo elemente svih skupova označimo sa ja, zatim elementi koji pripadaju ja, ali nije uključeno u A tvore skup koji se naziva komplementom skupa A i naznačeno C(A) ili A u. Skup koji ne sadrži niti jedan element naziva se prazan skup.

Možete izvoditi operacije nad skupovima koje podsjećaju na operacije koje se izvode nad brojevima u aritmetici. Udruga A B postavlja A I B je skup koji se sastoji od svih elemenata koji pripadaju barem jednom od skupova A I B(element koji pripada skupovima A I B istovremeno se računa kada je uključen u A B samo jednom). Križanjem A B postavlja A I B je skup koji se sastoji od svih elemenata koji pripadaju objema A, dakle B. Pretpostavimo, na primjer, da skup ja sastoji se od svih slova ruske abecede, A- svih suglasnika, i to mn B- od slova koja se nalaze u riječi "enciklopedija". Zatim sindikat A B sastoji se od svih slova abecede osim A, e, na, ʺ, b, s, Yu, raskrižje A B- iz pisama d, Do, l, n, P, ts, i dodatak C(A) – svih samoglasnika. Grana teorije skupova koja se bavi proučavanjem operacija nad skupovima naziva se algebra skupova. Prazan skup ima ulogu nule u algebri skupova, pa se često označava simbolom OKO; Na primjer, A O = A, A O=O.

Booleova algebra.

Algebra skupova je pododjeljak Booleovih algebri, koji se prvi put pojavio u djelima J. Boolea (1815. – 1864.). Aksiomi Booleove algebre odražavaju analogiju između koncepata “skupa”, “događaja” i “iskaza”. Logički iskazi mogu se pisati pomoću skupova i analizirati pomoću Booleove algebre.

Čak i bez ulaska u detaljnu studiju zakona Booleove algebre, možemo dobiti ideju o tome kako se ona koristi koristeći primjer jednog od logičkih problema Lewisa Carrolla. Neka nam bude određeni skup izjava:

2831. Ne postoji mače koje voli ribu i koje se ne može naučiti svakojakim smiješnim stvarima;

2. Nema mačića bez repa koji će se igrati s gorilom;

3. Mačići s brkovima uvijek vole ribu;

4. Ne postoji mače sa zelenim očima koje se može naučiti smiješnim stvarima;

5. Nema mačića s repom ali bez brkova.

Koji se zaključak može izvući iz ovih izjava?

Razmotrite sljedeće skupove (univerzalni set ja uključuje sve mačiće): A– mačići koji vole ribu; B– mačići uče smiješne stvari; D– mačići s repom; E– mačići koji će se igrati s gorilom; F– mačići sa zelenim očima i G- mačići s brkovima. Prva izjava kaže da skup mačića koji vole ribu i dodatak skupu mačića koji uče smiješne stvari nemaju zajedničke elemente. Simbolički je ovo napisano kao

Definicija 1.Puno je skup nekih predmeta ujedinjenih u jednu cjelinu prema nekom svojstvu.

Predmeti koji čine skup nazivaju se njegovim elementi.

Označeno velikim slovima latinične abecede: A, B, …, x, Y, ..., a njihovi elementi označeni su odgovarajućim velikim slovima: a, b, …, x, y.

Definicija 1.1. Skup koji ne sadrži niti jedan element naziva se prazan a označen je simbolom Ø.

Skup se može odrediti nabrajanjem i opisom.

Primjer:; .

Definicija 1.2. Puno A naziva podskup B, ako je svaki element skupa A je element skupa B. Simbolično je to označeno na sljedeći način: AB (A sadržano u B).

Definicija 1.3. Dva kompleta A I B se zovu jednak, ako se sastoje od istih elemenata: ( A =B).

Operacije na skupovima.

Definicija 1.4. Unija ili zbroj skupova A I B je skup koji se sastoji od elemenata od kojih svaki pripada barem jednom od tih skupova.

Unija skupova je označena sa AB(ili A +B). Ukratko možemo napisati AB = .

AB= A +B

Ako B.A., To A +B=A

Definicija 1.5. Presjek ili produkt skupova A I B je skup koji se sastoji od elemenata od kojih svaki pripada skupu A i mnogi B istovremeno. Presjek skupova je označen sa AB(ili A· B). Ukratko možemo napisati:

AB = .

AB =A · B

Ako B A, To A · B=B

Definicija 1.6. Set razlika A I B je skup, čiji je svaki element element skupa A a nije element skupa B. Razlika skupa je označena sa A\B. A-priorat A\B = .

A\B = A–B

Skupovi čiji su elementi brojevi nazivaju se numerički.

Primjeri skupova brojeva su:

N =- skup prirodnih brojeva.

Z= - skup cijelih brojeva.

Q=- skup racionalnih brojeva.

R– skup realnih brojeva.

Gomila R sadrži racionalne i iracionalne brojeve. Svaki racionalni broj izražava se ili kao konačni decimalni razlomak ili kao beskonačni periodični razlomak. Dakle, ;… su racionalni brojevi.

Iracionalan broj izražava se kao beskonačni neperiodični decimalni razlomak. Dakle, = 1,41421356...; = 3,14159265.... je iracionalan broj.

K– skup kompleksnih brojeva (forme Z=a+ dvo)

Definicija 1.7.Ɛ ‒ okolina točke x 0 se naziva simetrični interval ( x 0 – Ɛ; x 0 + Ɛ), koji sadrži točku x 0 .

Konkretno, ako je interval ( x 0 –Ɛ; x 0 +Ɛ), tada nejednakost x 0 –Ɛ<x<x 0 +Ɛ, ili, što je isto, │ x– x 0 │<Ɛ. Činiti potonje znači pogoditi bit x u Ɛ – okolini točke x 0 .

Primjer 1:

(2 – 0,1; 2 + 0,1) ili (1,9; 2,1) – Ɛ– susjedstvo.

│x– 2│< 0,1

–0,1<x – 2<0,1

2 –0,1<x< 2 + 0,1

1,9<x< 2,1

Primjer 2:

A– skup djelitelja 24;

B– skup djelitelja 18.

Priča

Naivna teorija skupova

Prva skica teorije skupova pripada Bernardu Bolzanu (Paradoksi beskonačnog, 1850.). Ovaj rad razmatra proizvoljne (numeričke) skupove i definira koncept korespondencije jedan na jedan za njihovu usporedbu.

Godine 1870. njemački matematičar Georg Cantor razvio je svoj program za standardizaciju matematike, u okviru kojeg je svaki matematički objekt morao biti jedan ili onaj „skup“. Taj je pristup ocrtan u dva njegova članka objavljena 1879.-1897. u poznatom njemačkom časopisu “Annals of Mathematics” (njemački: Mathematical Annals). Mathematische Annalen ). Na primjer, prirodni broj, prema Cantoru, trebalo je smatrati skupom koji se sastoji od jednog elementa drugog skupa, nazvanog "prirodni niz" - koji je, opet, sam skup koji zadovoljava takozvane Peanove aksiome . U isto vrijeme, općem konceptu "skupa", koji je smatrao središnjim za matematiku, Cantor je dao malo definirajućih definicija poput "skup je mnogo, zamišljen kao jedan," itd. To je bilo sasvim u skladu s mentalitetom samog Cantora, koji je svoj program izrazito nazvao ne "teorijom skupova" (taj se izraz pojavio mnogo kasnije), i nastava o setovima ( Mengenlehre).

Cantorov program izazvao je oštre proteste mnogih vodećih matematičara njegova vremena. Svojim nepomirljivim odnosom prema tome posebno se isticao Leopold Kronecker, smatrajući da se matematičkim objektima mogu smatrati samo prirodni brojevi i ono što se na njih izravno svodi (poznata je njegova rečenica da je „Bog stvorio prirodne brojeve, a sve ostalo djelo je ljudskih ruku. ”). Takvi autoritativni matematičari kao što su Hermann Schwartz i Henri Poincaré također su potpuno odbacili teoriju skupova. Međutim, drugi veliki matematičari - posebice Gottlob Frege, Richard Dedekind i David Hilbert - podržali su Cantora u njegovoj namjeri da svu matematiku prevede na teorijski jezik. Konkretno, teorija skupova postala je temeljem teorije mjere i integrala, topologije i funkcionalne analize.

Međutim, ubrzo je postalo jasno da je Cantorov stav prema neograničenoj proizvoljnosti kada se radi s beskonačnim skupovima (koji je sam izrazio u načelu "bit matematike leži u njezinoj slobodi") bio inherentno pogrešan (vidi Kriza matematičkih temelja). Naime, otkriven je niz skupovno-teorijskih antinomija: pokazalo se da se pri korištenju skupovno-teorijskih reprezentacija neke tvrdnje mogu dokazati zajedno s njihovim poricanjima (i tada se, prema pravilima klasične iskazne logike, apsolutno svaka izjava može dokazati). “dokazano”).

Aksiomatska teorija skupova

Značajka aksiomatskog pristupa je odbacivanje temeljne ideje Cantorovog programa o stvarnom postojanju skupova u nekom idealnom svijetu. U okviru aksiomatskih teorija skupovi “postoje” na čisto formalan način, a njihova “svojstva” mogu značajno ovisiti o izboru aksiomatike. Ta je činjenica oduvijek bila meta kritike onih matematičara koji nisu pristajali (na čemu je inzistirao Hilbert) priznati matematiku kao igru simbola lišenu bilo kakvog sadržaja. Konkretno, N. N. Luzin je napisao da je "snaga kontinuuma, ako je samo zamislimo kao skup točaka, jedinstvena stvarnost", čije mjesto u nizu kardinalnih brojeva ne može ovisiti o tome je li hipoteza o kontinuumu prepoznati kao aksiom ili njegovo poricanje.

Trenutno je najčešća aksiomatska teorija skupova ZFC - Zermelo-Fraenkel teorija s aksiomom izbora. Pitanje konzistentnosti ove teorije (i još više, postojanja modela za nju) ostaje neriješeno.

Ne prihvaćaju svi matematičari bezuvjetno aksiom izbora. Tako, primjerice, Emile Borel i Henri Lebesgue vjeruju da dokazi dobiveni korištenjem ovog aksioma imaju drugačiju kognitivnu vrijednost od dokaza neovisnih o njemu. Drugi matematičari, poput Felixa Hausdorffa i Adolfa Frenkela, bezuvjetno prihvaćaju aksiom izbora, priznajući ga s istim stupnjem očitosti kao i ostale Zermelo-Frenkelove aksiome.

Osnovni koncepti

Teorija skupova temelji se na sljedećim primarnim konceptima: gomila i stav biti element skupovi (označeni kao - “x je element skupa A”, “x pripada skupu A”). Među izvedenim pojmovima najvažniji su sljedeći:

prazan skup, obično označen simbolom ;
obitelj skupova;
operacije:
Za skupove su definirane sljedeće binarne relacije:
- uredi] Proširenja
  Glavni članak: Teorija skupova
  
  Teorija skupova prirodno je proširenje (generalizacija) teorije skupova. Poput skupa, skup je skup elemenata iz neke domene. Razlika od skupa: setovi dopuštaju prisutnost nekoliko instance istog elementa (element je uključen od nula puta, tj. nije uključen u skup, do bilo kojeg zadanog broja puta). (vidi na primjer, Multikombinacije).
  
  Prijave
  
  vidi također
  
  Bilješke
  
  Književnost
  - K. Kuratovsky, A. Mostovsky Teorija skupova / Prijevod s engleskog M. I. Kratko uredio A. D. Taimanov. - M.: Mir, 1970. - 416 str.
  - N. K. Vereščagin, A. Šen. Predavanja iz matematičke logike i teorije algoritama. Dio 1. Počeci teorije skupova.
  - A. Frenkel, I. Bar-Hillel Temelji teorije skupova / Prijevod s engleskog Yu. A. Gastev, uredio A. S. Yesenin-Volpin. - M.: Mir, 1966. - 556 str.

Zaklada Wikimedia. 2010.

Matematička analiza
Podskup

Pogledajte što je "teorija skupova" u drugim rječnicima:

TEORIJA SKUPOVA- TEORIJA SKUPOVA, grana matematike koja je započela s radom Georgea BOOLLE-a na polju matematičke logike, ali je sada više povezana s proučavanjem apstraktnih ili stvarnih SET objekata, nego s logičkim... ... Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

teorija skupova- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Englesko-ruski rječnik elektrotehnike i elektroenergetike, Moskva, 1999] Teme elektrotehnike, osnovni pojmovi EN teorija skupova ... Vodič za tehničke prevoditelje

TEORIJA SKUPOVA- teorija u kojoj se proučavaju skupovi (klase) elemenata proizvoljne prirode. Nastao prvenstveno djelima Cantora (kao i R. Dedekinda i K. Weierstrassa), T. m. do kraja 19. st. postao osnova za izgradnju matematičkih sustava koji su se razvili do tog vremena ... ... Filozofska enciklopedija

TEORIJA SKUPOVA- grana matematike koja proučava opća svojstva skupova. Skup je bilo koja kombinacija nekih specifičnih i različitih objekata naše percepcije ili mišljenja u jednu cjelinu. U tehničkoj matematici proučavaju se opća svojstva raznih operacija... ... Enciklopedijski rječnik psihologije i pedagogije

Cantorova teorija skupova- ... Wikipedija

Zermelo-Fraenkel teorija skupova- ... Wikipedija

Pogledi