Ograničenje funkcije. Izračunavanje limesa funkcija online Limit složene funkcije

Ograničenje funkcije- broj a bit će granica neke varijabilne veličine ako se u procesu svoje promjene ta varijabilna veličina neograničeno približava a.

Ili drugim riječima, broj A je granica funkcije y = f(x) u točki x 0, ako za bilo koji niz točaka iz domene definicije funkcije , nisu jednaki x 0, a koja konvergira u točku x 0 (lim x n = x0), niz odgovarajućih vrijednosti funkcije konvergira u broj A.

Graf funkcije čija je granica, s obzirom na argument koji teži beskonačnosti, jednaka L:

Značenje A je granica (granična vrijednost) funkcije f(x) u točki x 0 u slučaju za bilo koji niz točaka , koji konvergira u x 0, ali koji ne sadrži x 0 kao jedan od njegovih elemenata (tj. u probušenoj blizini x 0), niz vrijednosti funkcije konvergira u A.

Limit Cauchyjeve funkcije.

Značenje A bit će granica funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji unaprijed uzet nenegativan broj ε pronaći će se odgovarajući nenegativan broj δ = δ(ε) tako da za svaki argument x, zadovoljavajući uvjet 0 < | x - x0 | < δ , nejednakost će biti zadovoljena | f(x)A |< ε .

Bit će vrlo jednostavno ako razumijete bit granice i osnovna pravila za njezino pronalaženje. Što je granica funkcije f (x) na x težeći za a jednaki A, piše se ovako:

Štoviše, vrijednost kojoj varijabla teži x, može biti ne samo broj, već i beskonačnost (∞), ponekad +∞ ili -∞, ili možda uopće ne postoji ograničenje.

Da shvatim kako pronaći limite funkcije, najbolje je pogledati primjere rješenja.

Potrebno je pronaći limite funkcije f (x) = 1/x na:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Pronađimo rješenje prve granice. Da biste to učinili, možete jednostavno zamijeniti x broj kojem teži, tj. 2, dobivamo:

Nađimo drugu granicu funkcije. Ovdje umjesto toga zamijenite čistu 0 x to je nemoguće, jer Ne možete dijeliti s 0. Ali možemo uzeti vrijednosti blizu nule, na primjer, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 i tako dalje, te vrijednost funkcije f (x) povećat će se: 100; 1000; 10000; 100 000 i tako dalje. Dakle, može se razumjeti da kada x→ 0 vrijednost funkcije koja je ispod granice raste neograničeno, tj. stremi ka beskonačnosti. Što znači:

Što se tiče treće granice. Ista situacija kao u prethodnom slučaju, nemoguće je zamijeniti ∞ u svom najčišćem obliku. Moramo razmotriti slučaj neograničenog povećanja x. Zamjenjujemo 1000 jedan po jedan; 10000; 100 000 i tako dalje, imamo tu vrijednost funkcije f (x) = 1/x smanjit će se: 0,001; 0,0001; 0,00001; i tako dalje, težeći nuli. Zato:

Potrebno je izračunati limit funkcije

Počinjući rješavati drugi primjer, vidimo nesigurnost. Odavde nalazimo najviši stupanj brojnika i nazivnika - ovo je x 3, izvadimo ga iz zagrada u brojniku i nazivniku i zatim smanjimo za:

Odgovor

Prvi korak u pronalaženje ove granice, umjesto toga zamijenite vrijednost 1 x, što dovodi do neizvjesnosti. Da bismo ga riješili, faktorizirajmo brojnik i učinimo to pomoću metode pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Dakle, brojnik će biti:

Odgovor

Ovo je definicija njezine specifične vrijednosti ili određenog područja u koje funkcija spada, a koje je ograničeno limitom.

Za rješavanje ograničenja slijedite pravila:

Shvativši bit i glavno pravila za rješavanje granice, dobit ćete osnovno razumijevanje kako ih riješiti.

Konstantan broj A nazvao ograničiti sekvence(x n ), ako je za bilo koji proizvoljno mali pozitivan brojε > 0 postoji broj N koji ima sve vrijednosti x n, za koje je n>N, zadovoljavaju nejednakost

|x n - a|< ε. (6.1)

Zapišite to na sljedeći način: ili x n → a.

Nejednadžba (6.1) ekvivalentna je dvostrukoj nejednadžbi

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

što znači da bodovi x n, počevši od nekog broja n>N, leže unutar intervala (a-ε, a+ ε ), tj. upasti u bilo koji maliε -okolica točke A.

Niz koji ima limes naziva se konvergentan, inače - odvojit.

Koncept limita funkcije generalizacija je koncepta limita niza, budući da se limit niza može smatrati limitom funkcije x n = f(n) argumenta cijelog broja n.

Neka je dana funkcija f(x) i neka a - granična točka domena definicije ove funkcije D(f), tj. takva točka, čija svaka okolina sadrži točke skupa D(f) osim a. Točka a mogu i ne moraju pripadati skupu D(f).

Definicija 1.Konstantni broj A naziva se ograničiti funkcije f(x) na x→a, ako za bilo koji niz (x n ) vrijednosti argumenata teži A, odgovarajući nizovi (f(x n)) imaju isti limit A.

Ova definicija se zove definiranjem limita funkcije prema Heineu, ili " u jeziku slijeda”.

Definicija 2. Konstantni broj A naziva se ograničiti funkcije f(x) na x→a, ako, zadavanjem proizvoljno proizvoljno malog pozitivnog broja ε, može se naći takav δ>0 (ovisno o ε), koji je za svakoga x, ležeći uε-okoline broja A, tj. Za x, zadovoljavajući nejednakost
0 < x-a< ε , vrijednosti funkcije f(x) će ležati uε-okolina broja A, tj.|f(x)-A|< ε.

Ova definicija se zove definiranjem limita funkcije prema Cauchyju, ili “u jeziku ε - δ “.

Definicije 1 i 2 su ekvivalentne. Ako funkcija f(x) kao x →a ima ograničiti, jednako A, ovo je zapisano u obliku

. (6.3)

U slučaju da niz (f(x n)) raste (ili opada) bez ograničenja za bilo koju metodu aproksimacije x do svoje granice A, tada ćemo reći da funkcija f(x) ima beskonačna granica, i zapiši u obliku:

Poziva se varijabla (tj. niz ili funkcija) čija je granica nula beskrajno malen.

Varijabla čija je granica beskonačno naziva se beskrajno velika.

Za pronalaženje limita u praksi koriste se sljedeći teoremi.

Teorem 1 . Ako svaka granica postoji

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Izrazi poput 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - nesigurni su, na primjer, omjer dviju infinitezimalnih ili beskonačno velikih količina, a pronalaženje granice ove vrste naziva se "otkrivanje nesigurnosti".

Teorem 2. (6.7)

oni. može se ići do granice na temelju potencije s konstantnim eksponentom, posebno, ;

(6.8)

(6.9)

Teorem 3.

(6.10)

(6.11)

Gdje e » 2.7 - baza prirodnog logaritma. Formule (6.10) i (6.11) nazivaju se prve divna granica a druga izvanredna granica.

Posljedice formule (6.11) također se koriste u praksi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

posebno granica,

Ako je x → a i istovremeno x > a, zatim napišite x→a + 0. Ako je konkretno a = 0, tada umjesto simbola 0+0 piše +0. Slično ako je x→a i istovremeno x a-0. Brojke te se prema tome i nazivaju desna granica I lijevo ograničenje funkcije f(x) u točki A. Da postoji limit funkcije f(x) pri x→a je potrebno i dovoljno kako bi . Poziva se funkcija f(x). stalan u točki x 0 ako je granica

. (6.15)

Uvjet (6.15) može se prepisati kao:

,

odnosno prijelaz do granice pod znakom funkcije je moguć ako je ona kontinuirana u danoj točki.

Ako je jednakost (6.15) povrijeđena, onda to kažemo na x = xo funkcija f(x) Ima praznina Promotrimo funkciju y = 1/x. Područje definiranja ove funkcije je skup R, osim za x = 0. Točka x = 0 je granična točka skupa D(f), budući da je u bilo kojoj njegovoj okolini, tj. u svakom otvorenom intervalu koji sadrži točku 0 postoje točke iz D(f), ali on sam ne pripada tom skupu. Vrijednost f(x o)= f(0) je nedefinirana, pa u točki x o = 0 funkcija ima diskontinuitet.

Poziva se funkcija f(x). kontinuirano s desne strane u točki x o ako granica

,

I kontinuirano s lijeve strane u točki x o, ako je granica

.

Kontinuitet funkcije u točki x o je ekvivalentan svom kontinuitetu u ovoj točki i desno i lijevo.

Da bi funkcija bila kontinuirana u točki x o, npr. desno, potrebno je, prvo, da postoji konačna granica, i drugo, da ta granica bude jednaka f(x o). Dakle, ako barem jedan od ova dva uvjeta nije ispunjen, funkcija će imati diskontinuitet.

1. Ako granica postoji i nije jednaka f(x o), onda to kažu funkcija f(x) u točki x o ima prekid prve vrste, ili skok.

2. Ako je granica+∞ ili -∞ ili ne postoji, onda kažu da in točka x o funkcija ima diskontinuitet druga vrsta.

Na primjer, funkcija y = cot x na x→ +0 ima limit jednak +∞, što znači da u točki x=0 ima diskontinuitet druge vrste. Funkcija y = E(x) (cijeli dio od x) u točkama s cijelim apscisama ima diskontinuitete prve vrste, odnosno skokove.

Naziva se funkcija koja je kontinuirana u svakoj točki intervala stalan V . Kontinuirana funkcija je predstavljena punom krivuljom.

Mnogi problemi povezani s kontinuiranim rastom neke količine dovode do druge značajne granice. Takvi zadaci, na primjer, uključuju: rast depozita prema zakonu složenih kamata, rast stanovništva zemlje, raspad radioaktivnih tvari, razmnožavanje bakterija itd.

Razmotrimo primjer Ya. I. Perelmana, dajući tumačenje broja e u problemu složenih kamata. Broj e postoji granica . U štedionicama se kamate godišnje dodaju osnovnom kapitalu. Ako se pristupanje vrši češće, kapital brže raste, jer veći iznos sudjeluje u formiranju kamata. Uzmimo čisto teoretski, vrlo pojednostavljen primjer. Neka 100 deniera bude položeno u banku. jedinice na bazi 100% godišnje. Ako se novac od kamata pridoda osnovnom kapitalu tek nakon godinu dana, onda do tog roka 100 den. jedinice pretvorit će se u 200 novčanih jedinica. Sada da vidimo u što će se pretvoriti 100 denija. jedinica, ako se novac od kamata dodaje stalnom kapitalu svakih šest mjeseci. Nakon šest mjeseci, 100 den. jedinice će porasti na 100× 1,5 = 150, a nakon još šest mjeseci - 150× 1,5 = 225 (den. jedinica). Ako se pristupanje vrši svake 1/3 godine, onda nakon godinu dana 100 den. jedinice pretvorit će se u 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. jedinice). Povećat ćemo uvjete za dodavanje kamata na 0,1 godinu, na 0,01 godinu, na 0,001 godinu itd. Zatim od 100 den. jedinice nakon godinu dana bit će:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. jedinice),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. jedinice),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. jedinice).

S neograničenim smanjenjem uvjeta za dodavanje kamata, akumulirani kapital ne raste neograničeno, već se približava određenoj granici jednakoj približno 271. Kapital položen uz 100% godišnje ne može se povećati za više od 2,71 puta, čak i ako su obračunate kamate dodavali su se kapitalu svake sekunde jer je ograničenje

Primjer 3.1.Koristeći definiciju limita brojevnog niza, dokažite da niz x n =(n-1)/n ima limit jednak 1.

Riješenje.To moramo dokazati, bez obzira na sveε > 0, bez obzira što uzmemo, za njega postoji prirodan broj N takav da za svih n N vrijedi nejednakost|x n -1|< ε.

Uzmimo bilo koji e > 0. Budući da je ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tada je za pronalaženje N dovoljno riješiti nejednadžbu 1/n< e. Stoga je n>1/e i stoga se N može uzeti kao cijeli dio od 1/ e, N = E(1/e ). Time smo dokazali da granica .

Primjer 3.2 . Pronađite granicu niza zadanog zajedničkim članom .

Riješenje.Primijenimo limit teorema o zbroju i pronađimo limit svakog člana. Kada je n→ ∞ brojnik i nazivnik svakog člana teže beskonačnosti i ne možemo izravno primijeniti teorem o granici kvocijenta. Stoga, prvo transformiramo x n dijeleći brojnik i nazivnik prvog člana s n 2, a drugi na n. Zatim, primjenom granice kvocijenta i granice teorema zbroja, nalazimo:

.

Primjer 3.3. . Pronaći .

Riješenje. .

Ovdje smo upotrijebili teorem granice stupnja: granica stupnja jednaka je stupnju granice baze.

Primjer 3.4 . Pronaći ( ).

Riješenje.Nemoguće je primijeniti teorem granice razlike, budući da imamo nesigurnost oblika ∞-∞ . Transformirajmo formulu općeg pojma:

.

Primjer 3.5 . Dana je funkcija f(x)=2 1/x. Dokažite da granica ne postoji.

Riješenje.Upotrijebimo definiciju 1 limita funkcije kroz niz. Uzmimo niz ( x n ) koji konvergira na 0, tj. Pokažimo da se vrijednost f(x n)= ponaša različito za različite nizove. Neka je x n = 1/n. Očito, tada granica Izaberimo sada kao x n niz sa zajedničkim članom x n = -1/n, koji također teži nuli. Stoga nema ograničenja.

Primjer 3.6 . Dokažite da granica ne postoji.

Riješenje.Neka je x 1 , x 2 ,..., x n ,... niz za koji
. Kako se niz (f(x n)) = (sin x n) ponaša za različite x n → ∞

Ako je x n = p n, tada je sin x n = sin p n = 0 za sve n a granica Ako
x n =2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 za sve n pa prema tome i granica. Dakle, ne postoji.

Widget za izračun ograničenja na mreži

U gornjem prozoru umjesto sin(x)/x unesite funkciju čiji limit želite pronaći. U donjem prozoru unesite broj kojem teži x i kliknite gumb Izračunaj, dobijete željeni limit. A ako u prozoru s rezultatima kliknete na Prikaži korake u gornjem desnom kutu, dobit ćete detaljno rješenje.

Pravila za unos funkcija: sqrt(x) - kvadratni korijen, cbrt(x) - kubni korijen, exp(x) - eksponent, ln(x) - prirodni logaritam, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangens, cot(x) - kotangens, arcsin(x) - arksinus, arccos(x) - arkosinus, arctan(x) - arktangens. Umjesto toga znakovi: * množenje, / dijeljenje, ^ stepenovanje beskonačnost Beskonačnost. Primjer: funkcija je unesena kao sqrt(tan(x/2)).

Funkcija y = f (x) je zakon (pravilo) prema kojem je svakom elementu x skupa X pridružen jedan i samo jedan element y skupa Y.

Element x ∈ X nazvao argument funkcije ili neovisna varijabla.
Element y ∈ Y nazvao vrijednost funkcije ili zavisna varijabla.

Skup X naziva se domena funkcije.
Skup elemenata y ∈ Y, koje imaju praslike u skupu X, naziva se područje ili skup vrijednosti funkcije.

Poziva se stvarna funkcija ograničeno odozgo (odozdo), ako postoji broj M takav da nejednakost vrijedi za sve:
.
Poziva se funkcija broja ograničeno, ako postoji broj M takav da za sve:
.

Gornji rub ili točna gornja granica Prava funkcija naziva se najmanji broj koji ograničava svoj raspon vrijednosti odozgo. To jest, ovo je broj s za koji, za sve i za bilo koje, postoji argument čija vrijednost funkcije prelazi s′: .
Gornja granica funkcije može se označiti na sljedeći način:
.

Odnosno donji rub ili točna donja granica Realna funkcija naziva se najvećim brojem koji ograničava njezin raspon vrijednosti odozdo. To jest, ovo je broj i za koji, za sve i za bilo koje, postoji argument čija je vrijednost funkcije manja od i′: .
Infimum funkcije može se označiti na sljedeći način:
.

Određivanje limita funkcije

Određivanje limesa funkcije po Cauchyju

Konačne granice funkcije na krajnjim točkama

Neka je funkcija definirana u nekoj okolini krajnje točke, uz moguću iznimku same točke. u točki ako za bilo koju postoji takva stvar, ovisno o , da za sve x za koje , vrijedi nejednakost
.
Limit funkcije se označava na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija limita funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Jednostrana ograničenja.
Lijeva granica u točki (lijeva granica):
.
Desna granica u točki (desna granica):
.
Lijeva i desna granica često se označavaju na sljedeći način:
; .

Konačni limiti funkcije u točkama u beskonačnosti

Granice u točkama u beskonačnosti određuju se na sličan način.
.
.
.
Često se nazivaju:
; ; .

Korištenje koncepta susjedstva točke

Ako uvedemo koncept punktiranog susjedstva točke, tada možemo dati jedinstvenu definiciju konačnog limita funkcije na konačnim i beskonačno udaljenim točkama:
.
Ovdje za krajnje točke
; ;
.
Svako susjedstvo točaka u beskonačnosti je probušeno:
; ; .

Beskonačna ograničenja funkcija

Definicija
Neka je funkcija definirana u nekoj punktiranoj okolini točke (konačnoj ili u beskonačnosti). Granica funkcije f (x) kao x → x 0 jednako beskonačnosti, ako je za bilo koji proizvoljno velik broj M > 0 , postoji broj δ M > 0 , ovisno o M, da za sve x koji pripadaju punktiranoj δ M - okolini točke: , vrijedi nejednakost:
.
Beskonačna granica je označena na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija beskonačne granice funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Također možete uvesti definicije beskonačnih granica određenih znakova jednakih i :
.
.

Univerzalna definicija limita funkcije

Koristeći koncept susjedstva točke, možemo dati univerzalnu definiciju konačnog i beskonačnog limita funkcije, primjenjivu i za konačne (dvostrane i jednostrane) i za beskonačno udaljene točke:
.

Određivanje limesa funkcije po Heineu

Neka je funkcija definirana na nekom skupu X:.
Broj a naziva se limitom funkcije u točki:
,
ako za bilo koji niz koji konvergira x 0 :
,
čiji elementi pripadaju skupu X: ,
.

Napišimo ovu definiciju koristeći se logičkim simbolima postojanja i univerzalnosti:
.

Ako uzmemo lijevu okolinu točke x kao skup X 0 , tada dobivamo definiciju lijeve granice. Ako je desna, tada dobivamo definiciju desne granice. Ako okolinu točke u beskonačnosti uzmemo kao skup X, dobivamo definiciju limita funkcije u beskonačnosti.

Teorema
Cauchyjeva i Heineova definicija limita funkcije su ekvivalentne.
Dokaz

Svojstva i teoremi limita funkcije

Nadalje, pretpostavljamo da su funkcije koje razmatramo definirane u odgovarajućoj okolini točke, koja je konačan broj ili jedan od simbola: . Može biti i jednostrana granična točka, odnosno imati oblik ili . Susjedstvo je dvostrano za dvostrano ograničenje i jednostrano za jednostrano ograničenje.

Osnovna svojstva

Ako su vrijednosti funkcije f (x) promijeniti (ili učiniti nedefiniranim) konačan broj točaka x 1, x 2, x 3, ... x n, tada ova promjena neće utjecati na postojanje i vrijednost limita funkcije u proizvoljnoj točki x 0 .

Ako postoji konačna granica, tada postoji probušena okolina točke x 0 , na kojoj je funkcija f (x) ograničeno:
.

Neka funkcija ima u točki x 0 konačna granica različita od nule:
.
Tada za bilo koji broj c iz intervala postoji takva probušena okolina točke x 0 za što,
, Ako ;
, Ako .

Ako je, na nekoj probušenoj okolini točke, , konstanta, tada je .

Ako postoje konačne granice i i na nekoj punktiranoj okolini točke x 0
,
taj .

Ako je , i na nekoj okolini točke
,
taj .
Konkretno, ako je u nekoj blizini točke
,
onda ako , onda i ;
ako , onda i .

Ako na nekoj punktiranoj okolini točke x 0 :
,
i postoje konačne (ili beskonačne određenog predznaka) jednake granice:
, To
.

Dokazi glavnih svojstava navedeni su na stranici
"Osnovna svojstva limesa funkcije."

Aritmetička svojstva limita funkcije

Neka su funkcije i definirane u nekoj punktiranoj okolini točke . I neka postoje konačne granice:
i .
I neka je C konstanta, odnosno zadani broj. Zatim
;
;
;
, Ako .

Ako tada.

Dokazi aritmetičkih svojstava dati su na stranici
"Aritmetička svojstva limesa funkcije".

Cauchyjev kriterij postojanja limita funkcije

Teorema
Kako bi funkcija definirana na nekoj probušenoj okolini konačne ili beskonačne točke x 0 , imao konačnu granicu u ovoj točki, potrebno je i dovoljno da za bilo koji ε > 0 postojala je takva punktirana okolina točke x 0 , da za bilo koje točke i iz ove okoline vrijedi sljedeća nejednakost:
.

Limit složene funkcije

Teorem o limitu kompleksne funkcije
Neka funkcija ima granicu i preslikaj probušenu okolinu točke na probušenu okolinu točke. Neka je funkcija definirana na ovoj okolini i ima limit na njoj.
Evo krajnjih ili beskonačno udaljenih točaka: . Susjedstva i njihova odgovarajuća ograničenja mogu biti dvostrani ili jednostrani.
Tada postoji limit složene funkcije i on je jednak:
.

Limitni teorem složene funkcije primjenjuje se kada funkcija nije definirana u točki ili ima vrijednost različitu od limita. Da bismo primijenili ovaj teorem, mora postojati probušeno susjedstvo točke u kojoj skup vrijednosti funkcije ne sadrži točku:
.

Ako je funkcija kontinuirana u točki , tada se znak granice može primijeniti na argument kontinuirane funkcije:
.
Slijedi teorem koji odgovara ovom slučaju.

Teorem o limitu kontinuirane funkcije funkcije
Neka postoji limes funkcije g (t) kao t → t 0 , a jednak je x 0 :
.
Ovdje je točka t 0 mogu biti konačno ili beskonačno udaljeni: .
I neka funkcija f (x) kontinuirana je u točki x 0 .
Tada postoji limit kompleksne funkcije f (g(t)), a jednak je f (x0):
.

Dokazi teorema dati su na stranici
"Limit i kontinuitet složene funkcije".

Infinitezimalne i beskonačno velike funkcije

Infinitezimalne funkcije

Definicija
Za funkciju se kaže da je infinitezimalna ako
.

Zbroj, razlika i umnožak konačnog broja infinitezimalnih funkcija na je infinitezimalna funkcija na .

Umnožak ograničene funkcije na nekoj probušenoj okolini točke , na infinitezimal at je infinitezimalna funkcija na .

Da bi funkcija imala konačan limit potrebno je i dovoljno da
,
gdje je infinitezimalna funkcija na .

"Svojstva infinitezimalnih funkcija".

Beskonačno velike funkcije

Definicija
Za funkciju se kaže da je beskonačno velika ako
.

Zbroj ili razlika ograničene funkcije, na nekom probušenom susjedstvu točke , i beskonačno velike funkcije na je beskonačno velika funkcija na .

Ako je funkcija beskonačno velika za , a funkcija je ograničena na neku probušenu okolinu točke , tada
.

Ako funkcija , na nekoj punktiranoj okolini točke , zadovoljava nejednakost:
,
a funkcija je infinitezimalna na:
, i (na nekom punktiranom susjedstvu točke), zatim
.

Dokazi svojstava prikazani su u odjeljku
"Svojstva beskonačno velikih funkcija".

Odnos između beskonačno velikih i infinitezimalnih funkcija

Iz prethodna dva svojstva slijedi povezanost beskonačno velikih i infinitezimalnih funkcija.

Ako je funkcija beskonačno velika na , tada je funkcija infinitezimalna na .

Ako je funkcija infinitezimalna za , i , tada je funkcija beskonačno velika za .

Odnos između infinitezimalne i beskonačno velike funkcije može se izraziti simbolički:
, .

Ako infinitezimalna funkcija ima određeni predznak na , to jest, pozitivna je (ili negativna) na nekoj probušenoj okolini točke , tada se ta činjenica može izraziti na sljedeći način:
.
Na isti način, ako beskonačno velika funkcija ima određeni predznak na , tada se piše:
.

Tada se simbolička veza između beskonačno male i beskonačno velike funkcije može nadopuniti sljedećim relacijama:
, ,
, .

Dodatne formule koje se odnose na simbole beskonačnosti mogu se pronaći na stranici
"Točke u beskonačnosti i njihova svojstva."

Granice monotonih funkcija

Definicija
Poziva se funkcija definirana na nekom skupu realnih brojeva X strogo rastući, ako za sve takve vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Sukladno tome, za strogo opadajući funkcija vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Za neopadajući:
.
Za nerastući:
.

Slijedi da je strogo rastuća funkcija također neopadajuća. Strogo padajuća funkcija također je nerastuća.

Funkcija se zove monoton, ako je neopadajuća ili nerastuća.

Teorema
Neka funkcija ne opada na intervalu gdje je .
Ako je odozgo omeđen brojem M: tada postoji konačna granica. Ako nije ograničeno odozgo, tada .
Ako je ograničena odozdo brojem m: tada postoji konačna granica. Ako nije ograničeno odozdo, tada .

Ako su točke a i b u beskonačnosti, onda u izrazima granični znakovi znače da .
Ovaj se teorem može formulirati i kompaktnije.

Neka funkcija ne opada na intervalu gdje je . Zatim postoje jednostrane granice u točkama a i b:
;
.

Sličan teorem za nerastuću funkciju.

Neka funkcija ne raste na intervalu gdje je . Zatim postoje jednostrana ograničenja:
;
.

Dokaz teorema je prikazan na stranici
"Granice monotonih funkcija".

Reference:
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolskog. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 1983.

Riješenje ograničenja mrežne funkcije. Naći graničnu vrijednost funkcije ili funkcionalnog niza u točki, izračunati ultimativno vrijednost funkcije u beskonačnosti. određivanje konvergencije niza brojeva i još mnogo toga može se učiniti zahvaljujući našoj online usluzi -. Omogućujemo vam brzo i točno pronalaženje ograničenja funkcija na internetu. Sami upisujete funkcionalnu varijablu i granicu kojoj ona teži, a naš servis za vas obavlja sve izračune dajući točan i jednostavan odgovor. I za pronalaženje granice online možete unijeti i numeričke serije i analitičke funkcije koje sadrže konstante u doslovnom izrazu. U ovom slučaju, pronađena granica funkcije sadržavat će ove konstante kao konstantne argumente u izrazu. Naša usluga rješava sve složene probleme pronalaska ograničenja online, dovoljno je naznačiti funkciju i točku u kojoj je potrebno izračunati granična vrijednost funkcije. Računanje online ograničenja, možete koristiti različite metode i pravila za njihovo rješavanje, dok provjeravate dobiveni rezultat s rješavanje ograničenja online na www.site, što će dovesti do uspješnog izvršenja zadatka - izbjeći ćete vlastite pogreške i pogreške u pisanju. Ili nam možete potpuno vjerovati i koristiti naš rezultat u svom radu, bez trošenja dodatnog truda i vremena na samostalno izračunavanje limita funkcije. Dopuštamo unos graničnih vrijednosti kao što je beskonačnost. Potrebno je unijeti zajednički član brojčanog niza i www.site izračunat će vrijednost ograničiti online do plus ili minus beskonačnosti.

Jedan od osnovnih pojmova matematičke analize je granica funkcije I ograničenje niza u točki i u beskonačnosti, važno je znati točno riješiti granice. Uz našu uslugu to neće biti teško. Odluka je donesena ograničenja online u roku od nekoliko sekundi, odgovor je točan i potpun. Proučavanje matematičke analize počinje s prijelaz do granice, granice koriste se u gotovo svim područjima više matematike, pa je korisno imati pri ruci poslužitelj za online limit rješenja, koja je stranica.

Limit funkcije u točki i na

Limit funkcije je glavni aparat matematičke analize. Uz njegovu pomoć naknadno se utvrđuje neprekidnost funkcije, derivacije, integrala i zbroja niza.

Neka funkcija y=f(x)definirana u nekoj okolini točke , osim možda same poante .

Formulirajmo dvije ekvivalentne definicije limesa funkcije u točki.

Definicija 1 (u “jeziku nizova”, ili prema Heineu). Broj b nazvao granica funkcije g=f(x) u točki (ili kada
), ako za bilo koji niz valjanih vrijednosti argumenata

približavajući se (oni.
), niz odgovarajućih funkcijskih vrijednosti
konvergira u broj b(oni.
).

U ovom slučaju pišu
ili
na
. Geometrijsko značenje limita funkcije:
znači da za sve točke x, dovoljno blizu stvari , odgovarajuće vrijednosti funkcije razlikuju se onoliko malo koliko se želi od broja b.

Definicija 2 (u "jeziku", ili prema Cauchyju). Broj b nazvao granica funkcije g=f(x) u točki (ili kada
), ako za bilo koji pozitivan broj  postoji pozitivan broj  takav da za sve
zadovoljavajući nejednakost
, nejednakost vrijedi
.

Zapiši
.

Ova se definicija može ukratko napisati na sljedeći način:

primijeti da
može se napisati ovako
.

G geometrijsko značenje limita funkcije:
, ako za bilo koju okolicu točke b postoji takva blizina točke to je za sve
iz ovog  susjedstva odgovarajuće vrijednosti funkcije f (x) leže u okolici točke b. Drugim riječima, točke na grafu funkcije g = f (x) leže unutar trake širine 2 omeđene ravnim crtama na = b + , na = b  (Slika 17). Očito, vrijednost  ovisi o izboru , pa pišu  = ().

Primjer Dokaži to

Riješenje . Uzmimo proizvoljno   0 i pronađimo  = ()  0 tako da za sve x
, nejednakost vrijedi
. Pošto od

oni.
, zatim uzimanje , to vidimo za sve x, zadovoljavajući nejednakost
, nejednakost vrijedi
. Stoga,

Primjer Dokažite da ako f (x) = S, To
.

Riješenje . Za
možeš uzeti
. Zatim na

imamo . Stoga,
.

U definiranju limita funkcije
Vjeruje se da x teži za na bilo koji način: preostalo manje od (s lijeve strane ), veći od (desno od ), ili fluktuira oko točke .

Postoje slučajevi kada metoda približavanja argumenta x Do značajno utječe na vrijednost limita funkcije. Stoga se uvode pojmovi jednostranih granica.

Definicija. Broj nazvao granica funkcije g=f(x) lijevo u točki , ako za bilo koji broj   0 postoji broj  = ()  0 takav da za
, nejednakost vrijedi
.

Granica s lijeve strane je napisana kako slijedi
ili nakratko
(Dirichletov zapis) (slika 18).

Slično definirano granica funkcije s desne strane , zapišimo to pomoću simbola:

Ukratko, granica s desne strane je označena
.

P Pozivaju se dijelovi funkcije s lijeve i desne strane jednosmjerna ograničenja . Očito, ako postoji
, tada postoje obje jednostrane granice, i
.

Vrijedi i obrnuto: ako postoje obje granice
I
i oni su jednaki, onda postoji granica
i .

Ako
, To
ne postoji.

Definicija. Neka funkcija g=f(x) definiran je u intervalu
. Broj b nazvao granica funkcije g=f(x) na x , ako za bilo koji broj   0 postoji takav broj M = M()  0, što za sve x, zadovoljavajući nejednakost
nejednakost vrijedi
. Ukratko se ova definicija može napisati na sljedeći način:

E ako x +, zatim pišu
, Ako x , zatim pišu
, Ako
=
, tada se obično označava njihovo opće značenje
.

Geometrijsko značenje ove definicije je sljedeće: za
, to na
I
odgovarajuće vrijednosti funkcije g=f(x) padaju u okolicu točke b, tj. točke grafikona leže u traci širine 2, omeđenoj ravnim linijama
I
(Slika 19).