Dom » Glavne vrste alergena » Uvod u topologiju (za lutke i humaniste). Teorija skupova za početnike Teorija skupova osnovne definicije svojstava operacije

Uvod u topologiju (za lutke i humaniste). Teorija skupova za početnike Teorija skupova osnovne definicije svojstava operacije

Matematička analiza je grana matematike koja se bavi proučavanjem funkcija zasnovanih na ideji infinitezimalne funkcije.

Osnovni koncepti matematičke analize su količina, skup, funkcija, infinitezimalna funkcija, granica, izvod, integral.

Veličina Sve što se može izmjeriti i izraziti brojem naziva se.

Mnogi je skup nekih elemenata ujedinjenih nekom zajedničkom osobinom. Elementi skupa mogu biti brojevi, figure, objekti, koncepti itd.

Skupovi su označeni velikim slovima, a elementi skupa malim slovima. Elementi skupova su zatvoreni u vitičaste zagrade.

If element x pripada mnogima X, a zatim napišite x∈X (∈ - pripada).
Ako je skup A dio skupa B, onda napišite A ⊂ B (⊂ - sadržano).

Skup se može definirati na jedan od dva načina: nabrajanjem i korištenjem svojstva definiranja.

Na primjer, sljedeći skupovi su specificirani nabrajanjem:

A=(1,2,3,5,7) - skup brojeva
H=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - skup nekih elemenata x 1 ,x 2 ,...,x n
N=(1,2,...,n) — skup prirodnih brojeva
Z=(0,±1,±2,...,±n) — skup cijelih brojeva

Skup (-∞;+∞) se poziva brojevnu liniju, i bilo koji broj je tačka na ovoj pravoj. Neka je a proizvoljna tačka na brojevnoj pravoj i δ pozitivan broj. Interval (a-δ; a+δ) se zove δ-susjedstvo tačke a.

Skup X je ograničen odozgo (odozdo) ako postoji broj c takav da za bilo koje x ∈ X vrijedi nejednakost x≤s (x≥c). Broj c u ovom slučaju se zove gornja (donja) ivica skup X. Poziva se skup ograničen i odozgo i odozdo ograničeno. Poziva se najmanja (najveća) gornja (donja) strana skupa tačan gornji (donji) rub ovog mnoštva.

Osnovni skupovi brojeva

N	(1,2,3,...,n) Skup svih
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Podesite cijeli brojevi. Skup cijelih brojeva uključuje skup prirodnih brojeva.
Q	Gomila racionalni brojevi. Pored celih brojeva, postoje i razlomci. Razlomak je izraz oblika gdje str- cijeli broj, q- prirodno. Decimalni razlomci se također mogu napisati kao . Na primjer: 0,25 = 25/100 = 1/4. Cijeli brojevi se također mogu napisati kao . Na primjer, u obliku razlomka sa nazivnikom "jedan": 2 = 2/1. Dakle, svaki racionalni broj se može zapisati kao decimalni razlomak - konačan ili beskonačno periodičan.
R	Dosta svih realni brojevi. Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični razlomci. To uključuje: Zajedno, dva skupa (racionalni i iracionalni brojevi) čine skup realnih (ili realnih) brojeva.

Ako skup ne sadrži niti jedan element, onda se poziva prazan set i snima se Ø .

Elementi logičke simbolike

Zapis ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kvantifikator

Kvantifikatori se često koriste pri pisanju matematičkih izraza.

Kvantifikator naziva se logičkim simbolom koji kvantitativno karakterizira elemente koji ga slijede.

∀- opšti kvantifikator, koristi se umjesto riječi “za svakoga”, “za bilo koga”.
∃- kvantifikator postojanja, koristi se umjesto riječi “postoji”, “je dostupan”. Koristi se i kombinacija simbola ∃!, koja se čita kao da postoji samo jedan.

Postavite operacije

Dva skupovi A i B su jednaki(A=B) ako se sastoje od istih elemenata.
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) onda je A=B.

Po sindikatu (zbir) skupovi A i B je skup A ∪ B čiji elementi pripadaju barem jednom od ovih skupova.
Na primjer, ako je A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), onda je A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Po raskrsnici (proizvod) skup A i B naziva se skup A ∩ B, čiji elementi pripadaju i skupu A i skupu B.
Na primjer, ako je A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), onda je A ∩ B = (2,4)

Po razlici Skupovi A i B nazivaju se skup AB, čiji elementi pripadaju skupu A, ali ne pripadaju skupu B.
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), onda je AB = (1,2)

Simetrična razlika skup A i B naziva se skup A Δ B, koji je unija razlika skupova AB i BA, odnosno A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Na primjer, ako je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), onda je A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

Svojstva skupnih operacija

Svojstva promjenljivosti

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Odgovarajuće svojstvo

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Prebrojivi i nebrojivi skupovi

Da bi se uporedila bilo koja dva skupa A i B, uspostavlja se korespondencija između njihovih elemenata.

Ako je ova korespondencija jedan prema jedan, tada se skupovi nazivaju ekvivalentni ili jednako moćni, A B ili B A.

Primjer 1

Skup tačaka na kraku BC i hipotenuzi AC trougla ABC su jednake snage.

Po obrazovanju sam teorijski fizičar, ali imam dobro matematičko obrazovanje. Na master studiju jedan od predmeta je bila filozofija, bilo je potrebno izabrati temu i predati rad o njoj. Budući da se o većini opcija raspravljalo više puta, odlučio sam odabrati nešto egzotičnije. Ne pretvaram se da sam nov, samo sam uspio sakupiti svu/skoro svu dostupnu literaturu na ovu temu. Filozofi i matematičari mogu da me gađaju kamenjem, samo ću biti zahvalan na konstruktivnoj kritici.

P.S. Veoma „suv jezik“, ali prilično čitljiv nakon univerzitetskog nastavnog plana i programa. Uglavnom, definicije paradoksa su preuzete sa Wikipedije (pojednostavljena formulacija i gotova TeX oznaka).

Uvod

I sama teorija skupova i paradoksi koji su joj svojstveni pojavili su se ne tako davno, prije nešto više od stotinu godina. Međutim, dug put je pređen tokom ovog perioda; teorija skupova je, na ovaj ili onaj način, zapravo postala osnova većine grana matematike. Njegovi paradoksi povezani sa Kantorovom beskonačnošću uspešno su objašnjeni u bukvalno pola veka.

Trebali bismo početi s definicijom.

Šta je set? Pitanje je prilično jednostavno, odgovor je prilično intuitivan. Skup je određeni skup elemenata predstavljenih jednim objektom. Kantor u svom djelu Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre daje definiciju: pod "skupom" podrazumijevamo vezu u određenu cjelinu M određenih jasno prepoznatljivih objekata m naše kontemplacije ili našeg mišljenja (koji će se zvati "elementi" skupa M). Kao što vidimo, suština se nije promenila, razlika je samo u onom delu koji zavisi od pogleda na svet determinatora. Istorija teorije skupova, kako u logici tako i u matematici, veoma je kontradiktorna. Zapravo, započeo ga je Cantor u 19. vijeku, a zatim su Rasel i drugi nastavili rad.

Paradoksi (logika i teorija skupova) - (grčki - neočekivano) - formalne logičke kontradikcije koje nastaju u smislenoj teoriji skupova i formalnoj logici uz održavanje logičke ispravnosti rezonovanja. Paradoksi nastaju kada se dva međusobno isključiva (kontradiktorna) tvrdnje pokažu jednako dokazivim. Paradoksi se mogu pojaviti i unutar naučne teorije i u običnom rasuđivanju (na primjer, Russellova parafraza njegovog paradoksa o skupu svih normalnih skupova: „Seoski berberin brije sve one i samo one stanovnike svog sela koji se ne briju sami. on se brije? sebe?"). Budući da formalna logička kontradikcija uništava rasuđivanje kao sredstvo za otkrivanje i dokazivanje istine (u teoriji u kojoj se pojavljuje paradoks, svaka rečenica, istinita i netačna, je dokaziva), postavlja se zadatak identificiranja izvora takvih kontradikcija i pronalaženja načina. da ih eliminiše. Problem filozofskog razumijevanja specifičnih rješenja paradoksa jedan je od važnih metodoloških problema formalne logike i logičkih osnova matematike.

Svrha ovog rada je proučavanje paradoksa teorije skupova kao nasljednika drevnih antinomija i potpuno logičnih posljedica prelaska na novi nivo apstrakcije - beskonačnost. Zadatak je razmotriti glavne paradokse i njihovu filozofsku interpretaciju.

Osnovni paradoksi teorije skupova

Brijač brije samo one ljude koji se ne briju sami. Da li se brije sam?

Nastavimo sa kratkim izletom u istoriju.

Neki od logičkih paradoksa poznati su još od antičkih vremena, ali zbog činjenice da je matematička teorija bila ograničena na aritmetiku i geometriju, bilo ih je nemoguće povezati sa teorijom skupova. U 19. vijeku situacija se radikalno promijenila: Cantor je u svojim djelima dostigao novi nivo apstrakcije. Uveo je koncept beskonačnosti, stvarajući tako novu granu matematike i na taj način omogućavajući poređenje različitih beskonačnosti koristeći koncept „moći skupa“. Međutim, pritom je iznjedrila mnoge paradoksa. Prvi je tzv Burali-Forti paradoks. U matematičkoj literaturi postoje različite formulacije zasnovane na različitoj terminologiji i pretpostavljenom skupu poznatih teorema. Evo jedne od formalnih definicija.

Može se dokazati da ako je x proizvoljan skup rednih brojeva, onda je skup sume redni broj veći ili jednak svakom od elemenata x. Pretpostavimo sada da je to skup svih rednih brojeva. Tada je redni broj veći ili jednak bilo kojem od brojeva u . Ali tada i je redni broj, i već je striktno veći, pa stoga nije jednak ni jednom broju u . Ali to je u suprotnosti sa uslovom prema kojem - skup svih rednih brojeva.

Suština paradoksa je da se formiranjem skupa svih rednih brojeva formira novi redni tip, koji još nije bio među „svim“ transfinitnim rednim brojevima koji su postojali prije formiranja skupa svih rednih brojeva. Ovaj paradoks je otkrio sam Cantor, samostalno ga je otkrio i objavio italijanski matematičar Burali-Forti, greške potonjeg je ispravio Russell, nakon čega je formulacija dobila svoj konačni oblik.

Među svim pokušajima da se takvi paradoksi izbjegnu i donekle pokušaju ih objasniti, ideju već spomenutog Russella zaslužuje najveću pažnju. Predložio je da se iz matematike i logike izuzmu impredikativne rečenice u kojima definicija elementa skupa zavisi od potonjeg, što izaziva paradokse. Pravilo glasi ovako: "ni jedan skup C ne može sadržavati elemente m koji su definirani samo u smislu skupa C, kao i elemente n koji u svojoj definiciji pretpostavljaju ovaj skup." Takvo ograničenje definicije skupa omogućava nam da izbjegnemo paradokse, ali u isto vrijeme značajno sužava opseg njegove primjene u matematici. Osim toga, to nije dovoljno da se objasni njihova priroda i razlozi njihovog pojavljivanja, ukorijenjeni u dihotomiji mišljenja i jezika, u obilježjima formalne logike. U određenoj mjeri, ovo ograničenje se može pratiti u analogiji s onim što su kasniji kognitivni psiholozi i lingvisti počeli zvati "kategorizacija na osnovnom nivou": definicija je svedena na koncept koji je najlakši za razumijevanje i proučavanje.

Pretpostavimo da skup svih skupova postoji. U ovom slučaju, , je tačno, to jest, svaki skup t je podskup od V. Ali iz ovoga slijedi da snaga bilo kojeg skupa ne prelazi snagu V. Ali na osnovu aksioma skupa svih podskupovi, za V, kao i svaki skup, postoji skup svih podskupova , a prema Kantorovoj teoremi, što je u suprotnosti s prethodnom tvrdnjom. Posljedično, V ne može postojati, što je u suprotnosti s “naivnom” hipotezom da bilo koji sintaktički ispravan logički uvjet definira skup, odnosno da je za bilo koju formulu A koja ne sadrži y slobodan. Izvanredan dokaz odsustva takvih kontradikcija zasnovan na aksiomatiziranoj Zermelo-Fraenkel teoriji skupova daje Potter.

Oba navedena paradoksa su, s logičke tačke gledišta, identična “Lažljivcu” ili “Brbeberinu”: izraženi sud je upućen ne samo nečemu objektivnom u odnosu na njega, već i na njega samog. Međutim, treba obratiti pažnju ne samo na logičku stranu, već i na koncept beskonačnosti, koji je ovdje prisutan. Literatura se poziva na rad Poincaréa, u kojem on piše: “vjera u postojanje stvarne beskonačnosti... čini ove nepredikativne definicije neophodnim.”
Generalno, glavne tačke su:

u ovim paradoksima je narušeno pravilo jasnog razdvajanja „sfera“ predikata i subjekta; stepen konfuzije je blizak zamjeni jednog koncepta drugim;
Obično se u logici pretpostavlja da u procesu zaključivanja subjekt i predikat zadržavaju svoj obim i sadržaj, ali u ovom slučaju se to dešava
prelazak iz jedne kategorije u drugu, što rezultira nedosljednošću;
prisutnost riječi "sve" ima smisla za konačan broj elemenata, ali u slučaju beskonačnog broja elemenata, moguće je imati jedan koji
da bi se definisao biće potrebna definicija skupa;
krše se osnovni logički zakoni:
- zakon identiteta se krši kada se otkrije neidentičnost subjekta i predikata;
- zakon protivrečnosti - kada su dve kontradiktorne presude izvedene sa istim pravom;
- zakon isključene trećine - kada se ova trećina mora priznati, a ne isključiti, jer se ni prva ni druga ne mogu priznati bez drugog, jer ispostavilo se da su jednako legitimni.

Treći paradoks je nazvan po Russellu. Jedna definicija je data u nastavku.
Neka je K skup svih skupova koji ne sadrže sebe kao element. Da li K sadrži samo sebe kao element? Ako je odgovor da, onda, po definiciji K, to ne bi trebalo da bude element K - kontradikcija. Ako ne, onda bi, po definiciji K, trebalo da bude element K - opet kontradikcija. Ova izjava je logično izvedena iz Cantorovog paradoksa, koji pokazuje njihov odnos. Međutim, filozofska se suština očituje jasnije, budući da se „samokretanje“ pojmova događa „pred našim očima“.

Paradoks Tristrama Shandyja:
U Sterneovoj knjizi Život i mišljenja Tristrama Shandyja, džentlmena, junak otkriva da mu je bila potrebna cijela godina da ispriča događaje prvog dana svog života, a još godinu dana da opiše drugi dan. S tim u vezi, junak se žali da će se materijal njegove biografije akumulirati brže nego što ga on može obraditi i da ga nikada neće moći dovršiti. „Sada tvrdim,“ Russell prigovara na ovo, „da je živio zauvek i da mu posao ne bi postao teret, čak i da je njegov život i dalje bio bogat događajima kao na početku, onda nijedan od delova njegova biografija ne bi ostala nenapisana.”
Zaista, Shandy je mogao opisati događaje n-tog dana u n-oj godini i tako bi svaki dan bio uhvaćen u njegovoj autobiografiji.

Drugim rečima, da život traje večno, imao bi godina koliko i dana.

Russell povlači analogiju između ovog romana i Zenona i njegove kornjače. Po njegovom mišljenju, rješenje leži u činjenici da je cjelina ekvivalentna svom dijelu u beskonačnosti. One. Samo “aksiom zdravog razuma” vodi u kontradikciju. Međutim, rješenje problema leži u području čiste matematike. Očigledno, postoje dva skupa - godine i dani, između čijih elemenata se uspostavlja korespondencija jedan-na-jedan - bijekcija. Zatim, s obzirom na beskonačan život glavnog lika, postoje dva beskonačna skupa jednake snage, što, ako posmatramo moć kao generalizaciju koncepta broja elemenata u skupu, rješava paradoks.

Banach-Tarski paradoks (teorema) ili paradoks udvostručavanja lopte- teorema u teoriji skupova koja kaže da je trodimenzionalna lopta ekvivalentna dvije njene kopije.
Dva podskupa euklidskog prostora nazivaju se jednako sastavljenima ako se jedan može podijeliti na konačan broj dijelova, pomjeriti ih, a drugi se može sastaviti od njih.
Preciznije, dva skupa A i B su podjednako sastavljena ako se mogu predstaviti kao konačna unija disjunktnih podskupova tako da je za svako i podskup kongruentan.

Ako koristimo teoremu selekcije, onda definicija zvuči ovako:
Aksiom izbora implicira da postoji podjela površine jedinične sfere na konačan broj dijelova, koji se transformacijama trodimenzionalnog euklidskog prostora koji ne mijenjaju oblik ovih komponenti, mogu sastaviti u dvije sfere. jediničnog radijusa.

Očigledno, s obzirom na zahtjev da ovi dijelovi budu mjerljivi, ova izjava nije izvodljiva. Čuveni fizičar Richard Feynman u svojoj biografiji ispričao je kako je svojevremeno uspio pobijediti u sporu oko razbijanja narandže na konačan broj dijelova i ponovnog sastavljanja.

U određenim tačkama ovaj paradoks se koristi za opovrgavanje aksioma izbora, ali problem je u tome što je ono što smatramo elementarnom geometrijom nevažno. Oni koncepti koje smatramo intuitivnim moraju se proširiti na nivo svojstava transcendentalnih funkcija.

Da bi se dodatno oslabilo povjerenje onih koji smatraju da je aksiom izbora netačan, vrijedi spomenuti teoremu Mazurkiewicza i Sierpinskog, koja kaže da postoji neprazan podskup E euklidske ravni koji ima dva disjunktna podskupa, svaki od kojih se mogu podijeliti na konačan broj dijelova, tako da se mogu prevesti izometrijama u pokrivanje skupa E.
U ovom slučaju, dokaz ne zahtijeva korištenje aksioma izbora.
Dalje konstrukcije zasnovane na aksiomu sigurnosti daju rješenje za paradoks Banach-Tarskog, ali nisu od takvog interesa.

Ričardov paradoks: morate navesti „najmanji broj koji nije naveden u ovoj knjizi“. Kontradikcija je u tome što se s jedne strane to može učiniti, pošto je u ovoj knjizi naveden najmanji broj. Na osnovu toga možemo imenovati najmanju neimenovanu. Ali ovdje se javlja problem: kontinuum je nebrojiv; između bilo koja dva broja možete umetnuti beskonačan broj međubrojeva. S druge strane, kada bismo mogli imenovati ovaj broj, on bi se automatski prešao iz klase onih koji nisu spomenuti u knjizi u klasu onih koji se spominju.
Grelling-Nilssonov paradoks: riječi ili znakovi mogu označavati bilo koje svojstvo i istovremeno ga imati ili ne. Najtrivijalnija formulacija zvuči ovako: da li je reč „heterološki“ (što znači „neprimenljivo na sebe“), heterološka?.. Vrlo slična Rasellovom paradoksu zbog prisustva dijalektičke kontradikcije: dualnost forme i sadržaja je prekršena. U slučaju riječi koje imaju visok nivo apstrakcije, nemoguće je odlučiti da li su te riječi heterologne.
Skolemov paradoks: koristeći Gödelov teorem o potpunosti i Löwenheim-Skolem teorem, nalazimo da aksiomatska teorija skupova ostaje istinita čak i kada je pretpostavljena (dostupna) samo prebrojiva zbirka skupova za njeno tumačenje. U isto vrijeme
aksiomatska teorija uključuje već spomenutu Kantorovu teoremu, koja nas vodi do nebrojenih beskonačnih skupova.

Resolving Paradoxes

Stvaranje teorije skupova dovelo je do onoga što se smatra trećom krizom matematike, koja još uvijek nije riješena na zadovoljavajući način za sve.
Istorijski gledano, prvi pristup je bio teorijski skup. Zasnovala se na korištenju stvarne beskonačnosti, kada se vjerovalo da je svaki beskonačan niz završen u beskonačnosti. Ideja je bila da u teoriji skupova često morate imati posla sa skupovima koji mogu biti dijelovi drugih, većih skupova. Uspješne radnje u ovom slučaju bile su moguće samo u jednom slučaju: dati skupovi (konačni i beskonačni) su kompletirani. Određeni uspjeh je bio očigledan: aksiomatska teorija Zermelo-Fraenkel skupova, cijela matematička škola Nicolasa Bourbakija, koja postoji više od pola stoljeća i još uvijek izaziva mnogo kritika.

Logicizam je bio pokušaj da se sva poznata matematika svede na pojmove aritmetike, a zatim da se termini aritmetike svedu na koncepte matematičke logike. Frege se ovim pobliže bavio, ali nakon što je završio rad na djelu, bio je primoran da ukaže na svoju nedosljednost nakon što je Russell ukazao na kontradikcije u teoriji. Isti Russell, kao što je ranije spomenuto, pokušao je eliminirati upotrebu impredikativnih definicija uz pomoć “teorije tipova”. Međutim, ispostavilo se da su njegovi koncepti skupa i beskonačnosti, kao i aksiom svodljivosti, nelogični. Glavni problem je bio što nisu uzete u obzir kvalitativne razlike između formalne i matematičke logike, kao i prisustvo nepotrebnih koncepata, uključujući i one intuitivne prirode.
Kao rezultat toga, teorija logicizma nije bila u stanju eliminirati dijalektičke kontradikcije paradoksa povezanih s beskonačnošću. Postojali su samo principi i metode koji su omogućili da se riješimo barem nepredikativnih definicija. Po sopstvenom mišljenju, Rasel je bio Cantorov naslednik

Krajem 19. - početkom 20. vijeka. Širenje formalističkog gledišta o matematici bilo je povezano s razvojem aksiomatske metode i programa za potkrepljivanje matematike koji je iznio D. Hilbert. O važnosti ove činjenice govori i činjenica da je prvi problem od dvadeset tri koje je postavio matematičkoj zajednici bio problem beskonačnosti. Formalizacija je bila neophodna da bi se dokazala konzistentnost klasične matematike, “isto iz nje isključila sva metafizika”. S obzirom na sredstva i metode koje je Hilbert koristio, njegov cilj se pokazao suštinski nemogućim, ali je njegov program imao ogroman uticaj na sav kasniji razvoj osnova matematike. Hilbert je radio na ovom problemu dosta dugo, u početku konstruišući aksiomatiku geometrije. Kako je rješenje problema bilo prilično uspješno, odlučio je primijeniti aksiomatsku metodu na teoriju prirodnih brojeva. Evo šta je u vezi s tim napisao: „Slijedim važnom cilju: ja sam taj koji bih želio da se riješim pitanja opravdanosti matematike kao takve, pretvarajući svaki matematički iskaz u formulu koja se striktno može izvesti. Planirano je da se riješi beskonačnosti svođenjem na određeni konačan broj operacija. Da bi to učinio, okrenuo se fizici s njenim atomizmom kako bi pokazao nedosljednost beskonačnih veličina. U stvari, Hilbert je postavio pitanje odnosa između teorije i objektivne stvarnosti.

Manje-više potpunu ideju o konačnim metodama daje Hilbertov učenik J. Herbran. Pod konačnim rasuđivanjem on razumijeva rasuđivanje koje zadovoljava sljedeće uvjete: logički paradoksi - uvijek se razmatra samo konačan i određen broj objekata i funkcija;

Funkcije imaju preciznu definiciju, a ova definicija nam omogućava da izračunamo njihovu vrijednost;

Čovek nikada ne tvrdi: „Ovaj objekat postoji“, osim ako ne zna kako da ga konstruiše;

Skup svih objekata X bilo koje beskonačne kolekcije se nikada ne razmatra;

Ako se zna da je neko rezonovanje ili teorema istinito za sve ove X, onda to znači da se ovo opšte rezonovanje može ponoviti za svaki konkretan X, a samo ovo opšte rezonovanje treba posmatrati samo kao uzorak za sprovođenje takvog specifičnog zaključivanja. "

Međutim, u vrijeme svog posljednjeg objavljivanja u ovoj oblasti, Gödel je već dobio svoje rezultate, u suštini, ponovo je otkrio i potvrdio prisustvo dijalektike u procesu spoznaje. U suštini, dalji razvoj matematike pokazao je nekonzistentnost Hilbertovog programa.

Šta je tačno Gödel dokazao? Mogu se identifikovati tri glavna rezultata:

1. Gödel je pokazao nemogućnost matematičkog dokaza konzistentnosti bilo kojeg sistema dovoljno velikog da uključi svu aritmetiku, dokaz koji ne bi koristio nikakva druga pravila zaključivanja osim pravila samog datog sistema. Takav dokaz, koji koristi moćnije pravilo zaključivanja, može biti koristan. Ali ako su ova pravila zaključivanja jača od logičkih sredstava aritmetičkog računa, tada neće biti povjerenja u konzistentnost pretpostavki korištenih u dokazu. U svakom slučaju, ako korištene metode nisu konačne, onda će se Hilbertov program pokazati neizvodljivim. Gödel precizno pokazuje nekonzistentnost proračuna kako bi se pronašao finitistički dokaz konzistentnosti aritmetike.
2. Gödel je ukazao na fundamentalna ograničenja mogućnosti aksiomatske metode: sistem Principia Mathematica, kao i svaki drugi sistem pomoću kojeg se aritmetika konstruiše, suštinski je nepotpun, tj. za svaki konzistentan sistem aritmetičkih aksioma postoji istinita aritmetika. rečenice koje nisu izvedene iz aksioma ovog sistema.
3. Gödelova teorema pokazuje da nikakvo proširenje aritmetičkog sistema ne može učiniti potpunim, pa čak i ako ga ispunimo beskonačnim brojem aksioma, tada će u novom sistemu uvijek postojati istinite pozicije koje se ne mogu izvesti pomoću ovog sistem. Aksiomatski pristup aritmetici prirodnih brojeva nije u stanju da pokrije čitavo polje pravih aritmetičkih sudova, a ono što razumemo pod procesom matematičkog dokazivanja nije svedeno na upotrebu aksiomatske metode. Nakon Gödelove teoreme, postalo je besmisleno očekivati da se koncept uvjerljivog matematičkog dokaza može dati jednom za svagda definiranim oblicima.

Poslednji u ovoj seriji pokušaja da se objasni teorija skupova bio je intuicionizam.

Prošao je kroz nekoliko faza u svojoj evoluciji - poluintuicionizam, stvarni intuicionizam, ultraintuicionizam. U različitim fazama, matematičari su se bavili različitim problemima, ali jedan od glavnih problema matematike je problem beskonačnosti. Matematički koncepti beskonačnosti i kontinuiteta služili su kao predmet filozofske analize od svoje pojave (ideje atomista, aporije Zenona iz Eleje, infinitezimalne metode u antici, infinitezimalni račun u moderno doba, itd.). Najveću kontroverzu izazvala je upotreba raznih vrsta beskonačnosti (potencijalne, stvarne) kao matematičkih objekata i njihova interpretacija. Svi ovi problemi, po našem mišljenju, generisani su dubljim problemom – ulogom subjekta u naučnom saznanju. Činjenica je da je stanje krize u matematici generirano epistemološkom nesigurnošću srazmjerne između svijeta objekta (beskonačnosti) i svijeta subjekta. Matematičar kao subjekt ima mogućnost da bira sredstva spoznaje – bilo potencijalnu ili stvarnu beskonačnost. Upotreba potencijalne beskonačnosti kao postajanja daje mu mogućnost da izvede, da konstruiše beskonačan broj konstrukcija koje se mogu graditi na konačnim, bez završnog koraka, bez dovršetka konstrukcije, to je jedino moguće. Upotreba stvarne beskonačnosti daje mu mogućnost da radi sa beskonačnošću kao već ostvarivom, potpunom u svojoj konstrukciji, kao stvarno datom u isto vrijeme.

U fazi poluintuicionizma, problem beskonačnosti još nije bio samostalan, već je bio isprepleten s problemom konstruisanja matematičkih objekata i metoda za njegovo opravdanje. Poluintuicionizam A. Poincaréa i predstavnika pariške škole teorije funkcija Baera, Lebesguea i Borela bio je usmjeren protiv prihvatanja aksioma slobodnog izbora, uz pomoć kojeg se dokazuje Zermelova teorema, koja izjavio je da se svaki skup može napraviti potpuno uređen, ali bez navođenja teorijske metode za određivanje elemenata bilo kojeg podskupa željenih mnoštva. Ne postoji način da se konstruiše matematički objekat, a ne postoji ni sam matematički objekat. Matematičari su vjerovali da bi prisustvo ili odsustvo teorijske metode za konstruiranje niza istraživačkih objekata moglo poslužiti kao osnova za opravdanje ili pobijanje ovog aksioma. U ruskoj verziji, poluintuicionistički koncept u filozofskim osnovama matematike razvijen je u pravcu kao što je efikasnost, koji je razvio N.N. Luzin. Efikasnost je opozicija glavnim apstrakcijama Cantorove doktrine beskonačnog skupa – aktuelnosti, izbora, transfinite indukcije itd.

Za efikasnost, epistemološki vrednije apstrakcije su apstrakcija potencijalne izvodljivosti od apstrakcije stvarne beskonačnosti. Zahvaljujući tome, postaje moguće uvesti koncept transfinitnih ordinala (beskonačnih rednih brojeva) na osnovu efektivnog koncepta rasta funkcija. Epistemološka instalacija efikasnosti za prikazivanje kontinuiranog (kontinuuma) bila je zasnovana na diskretnim sredinama (aritmetika) i deskriptivnoj teoriji skupova (funkcija) koju je stvorio N.N. Luzin. Intuicionizam Holanđanina L.E.Ya. Brouwera, G. Weila, A. Heytinga vidi slobodno evoluirajuće sekvence različitih tipova kao tradicionalni predmet proučavanja. U ovoj fazi, rješavajući same matematičke probleme, uključujući i restrukturiranje cjelokupne matematike na novoj osnovi, intuicionisti su postavili filozofsko pitanje uloge matematičara kao subjekta koji spoznaje. Koja je njegova pozicija u kojoj je slobodniji i aktivniji u izboru sredstava znanja? Intuicionisti su prvi (i u fazi poluintuicionizma) kritizirali koncept stvarne beskonačnosti, Kantorovu teoriju skupova, videći u njoj narušavanje sposobnosti subjekta da utiče na proces naučnog traganja za rješenjem konstruktivnog problema. . U slučaju korištenja potencijalne beskonačnosti, subjekt se ne zavarava, jer je za njega ideja o potencijalnoj beskonačnosti intuitivno mnogo jasnija od ideje stvarne beskonačnosti. Za intuicionista se smatra da objekat postoji ako je direktno dat matematičaru ili je poznat način njegove konstrukcije ili konstrukcije. U svakom slučaju, subjekt može započeti proces kompletiranja niza elemenata svog skupa. Neizgrađeni objekat ne postoji za intuicioniste. Istovremeno, subjekt koji radi sa stvarnom beskonačnošću biće lišen ove mogućnosti i osetiće dvostruku ranjivost usvojene pozicije:

1) ova beskrajna konstrukcija se nikada ne može realizovati;
2) odlučuje da operiše stvarnom beskonačnošću kao konačnim objektom i u tom slučaju gubi svoju specifičnost koncepta beskonačnosti. Intuicionizam namjerno ograničava sposobnosti matematičara činjenicom da on može konstruirati matematičke objekte isključivo putem sredstava koja su, iako dobijena uz pomoć apstraktnih koncepata, učinkovita, uvjerljiva, dokaziva, funkcionalno konstruktivna, te su praktično i sama intuitivno jasni kao konstrukcije. , konstrukcije, u čiju pouzdanost u praksi nema sumnje. Intuicionizam, zasnovan na konceptu potencijalne beskonačnosti i konstruktivnih istraživačkih metoda, bavi se matematikom postajanja, teorija skupova se odnosi na matematiku bića.

Za intuicionistu Brouwera, kao predstavnika matematičkog empirizma, logika je sekundarna; on nju i zakon isključene sredine kritikuje.

U svojim pomalo mističnim djelima on ne poriče prisustvo beskonačnosti, ali ne dopušta njegovu aktualizaciju, samo potencijalizaciju. Glavna stvar za njega je tumačenje i opravdanje praktično korišćenih logičkih sredstava i matematičkog zaključivanja. Ograničenje koje su usvojili intuicionisti prevazilazi neizvjesnost korištenja koncepta beskonačnosti u matematici i izražava želju za prevazilaženjem krize u temeljima matematike.

Ultraintuicionizam (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov i dr.) je poslednja faza razvoja intuicionizma, u kojoj se njegove glavne ideje modernizuju, značajno dopunjuju i transformišu, ne menjajući njegovu suštinu, ali prevazilazeći nedostatke i jačajući pozitivne aspekte, vodeći se kriterijuma matematičke strogosti. Slabost pristupa intuicionista bilo je njihovo usko shvatanje uloge intuicije kao jedinog izvora opravdanja za ispravnost i delotvornost matematičkih metoda. Uzimajući „intuitivnu jasnoću“ kao kriterijum istine u matematici, intuicionisti su metodološki osiromašili sposobnosti matematičara kao subjekta spoznaje, sveli njegovu aktivnost samo na mentalne operacije zasnovane na intuiciji i nisu uključivali praksu u proces matematičke spoznaje. Ultra-intuicionistički program za osnivanje matematike je ruski prioritet. Stoga su domaći matematičari, prevazilazeći ograničenja intuicionizma, prihvatili efikasnu metodologiju materijalističke dijalektike, koja prepoznaje ljudsku praksu kao izvor formiranja kako matematičkih pojmova, tako i matematičkih metoda (inferencije, konstrukcije). Ultraintuicionisti su rešili problem postojanja matematičkih objekata, oslanjajući se više ne na neodredivi subjektivni koncept intuicije, već na matematičku praksu i specifičan mehanizam za konstruisanje matematičkog objekta - algoritam izražen računljivom, rekurzivnom funkcijom.

Ultraintuicionizam pojačava prednosti intuicionizma, koje se sastoje u mogućnosti uređenja i generalizacije metoda za rješavanje konstruktivnih problema koje koriste matematičari bilo kojeg smjera. Stoga je intuicionizam posljednje faze (ultraintuicionizam) blizak konstruktivizmu u matematici. U epistemološkom aspektu, glavne ideje i principi ultraintuicionizma su: kritika klasične aksiomatike logike; upotreba i značajno jačanje (po eksplicitnim uputstvima A.A. Markova) uloge apstrakcije identifikacije (mentalna apstrakcija od različitih svojstava objekata i istovremena identifikacija zajedničkih svojstava objekata) kao načina konstruisanja i konstruktivnog razumijevanja apstraktnih koncepata i matematičke prosudbe; dokaz konzistentnosti konzistentnih teorija. U formalnom aspektu, upotreba identifikacione apstrakcije opravdana je njena tri svojstva (aksioma) jednakosti – refleksivnost, tranzitivnost i simetrija.

Razriješiti glavnu kontradikciju u matematici u vezi s problemom beskonačnosti, koji je doveo do krize njegovih temelja, u fazi ultra-intuicionizma u radovima A.N. Kolmogorov je predložio izlaze iz krize rješavanjem problema odnosa klasične i intuicionističke logike, klasične i intuicionističke matematike. Brouwerov intuicionizam je općenito poricao logiku, ali budući da svaki matematičar ne može bez logike, praksa logičkog zaključivanja je još uvijek bila očuvana u intuicionizmu; neka načela klasične logike, koja je imala aksiomatiku kao osnovu, su bila dopuštena. S.K. Kleene i R. Wesley čak primjećuju da se intuicionistička matematika može opisati u obliku nekog računa, a račun je način organiziranja matematičkog znanja na osnovu logike, formalizacije i njenog oblika – algoritmizacije. Nova verzija odnosa između logike i matematike u okviru intuicionističkih zahtjeva za intuitivnom jasnoćom sudova, posebno onih koji su uključivali negaciju, A.N. Kolmogorov je predložio kako slijedi: predstavio je intuicionističku logiku, usko povezanu s intuicionističkom matematikom, u obliku aksiomatskog implikativnog minimalnog računa propozicija i predikata. Tako je naučnik predstavio novi model matematičkog znanja, prevazilazeći ograničenja intuicionizma u prepoznavanju samo intuicije kao sredstva znanja i ograničenja logicizma, koji apsolutizuje mogućnosti logike u matematici. Ova pozicija je omogućila da se u matematičkom obliku demonstrira sinteza intuitivnog i logičkog kao osnove fleksibilne racionalnosti i njene konstruktivne efektivnosti.

Zaključci. Dakle, epistemološki aspekt matematičkog znanja omogućava nam da procijenimo revolucionarne promjene u fazi krize temelja matematike na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće. sa novih pozicija u razumevanju procesa spoznaje, prirode i uloge subjekta u njemu. Epistemološki subjekt tradicionalne teorije znanja, koji odgovara periodu dominacije teorijskog pristupa u matematici, je apstraktan, nekompletan, "parcijalni" subjekt, predstavljen u subjekt-objekt odnosima, odvojen od stvarnosti apstrakcijama, logikom. , formalizam, racionalno, teorijski spoznaje svoj predmet i shvata kao ogledalo koje tačno odražava i kopira stvarnost. U suštini, subjekt je isključen iz spoznaje kao realnog procesa i rezultat interakcije sa objektom. Ulazak intuicionizma u arenu borbe između filozofskih pravaca u matematici doveo je do novog shvaćanja matematičara kao subjekta znanja - osobe koja zna, čija se filozofska apstrakcija mora takoreći iznova graditi. Matematičar se pojavio kao empirijski subjekt, shvaćen kao integralna stvarna ličnost, uključujući sva ona svojstva koja su apstrahovana u epistemološkom subjektu – empirijsku konkretnost, varijabilnost, istoričnost; to je aktivan i spoznavajući u stvarnom znanju, kreativan, intuitivan, inventivan subjekt. Filozofija intuicionističke matematike postala je osnova, temelj moderne epistemološke paradigme, izgrađene na konceptu fleksibilne racionalnosti, u kojoj je osoba integralni (integralni) subjekt spoznaje, posjedujući nove kognitivne kvalitete, metode, postupke; sintetizuje svoju apstraktno-gnoseološku i logičko-metodološku prirodu i formu, a u isto vreme dobija egzistencijalno-antropološko i „istorijsko-metafizičko” razumevanje.

Važna stvar je i intuicija u spoznaji i, posebno, u formiranju matematičkih pojmova. Opet, postoji borba sa filozofijom, pokušaji da se isključi zakon isključene sredine, koji nema značenje u matematici i dolazi u nju iz filozofije. Međutim, prisustvo pretjeranog naglaska na intuiciji i nedostatak jasnih matematičkih opravdanja nije omogućilo da se matematika prenese na čvrste temelje.

Međutim, nakon pojave strogog koncepta algoritma 1930-ih, matematički konstruktivizam je preuzeo palicu od intuicionizma, čiji su predstavnici dali značajan doprinos savremenoj teoriji izračunljivosti. Osim toga, 1970-ih i 1980-ih otkrivene su značajne veze između nekih ideja intuicionista (čak i onih koje su se ranije činile apsurdnim) i matematičke teorije topoa. Matematika koja se nalazi u nekim topoima je vrlo slična onome što su intuicionisti pokušali stvoriti.

Kao rezultat toga, možemo dati izjavu: većina gore navedenih paradoksa jednostavno ne postoji u teoriji skupova sa samovlasništvom. Kontroverzno je pitanje da li je takav pristup definitivan, a pokazaće dalji rad u ovoj oblasti.

Zaključak

Dijalektičko-materijalistička analiza pokazuje da su paradoksi posljedica dihotomije jezika i mišljenja, izraz dubokih dijalektičkih (Gödelov teorem je omogućio da se dijalektika manifestuje u procesu spoznaje) i epistemoloških poteškoća povezanih s konceptima subjekta i predmetnog područja. u formalnoj logici, skup (klasa) u logici i teoriji skupova, koristeći princip apstrakcije, koji nam omogućava da uvedemo nove (apstraktne) objekte (beskonačnost), sa metodama za definisanje apstraktnih objekata u nauci, itd. Dakle, univerzalni način ne može se dati da se eliminišu svi paradoksi.

Da li je treća kriza matematike završena (jer je bila u uzročno-posledičnoj vezi sa paradoksima; sada su paradoksi sastavni deo) - mišljenja se ovde razlikuju, iako su formalno poznati paradoksi eliminisani do 1907. godine. Međutim, sada u matematici postoje i druge okolnosti koje se mogu smatrati ili krizom ili predznakom krize (na primjer, nedostatak striktnog opravdanja za integral puta).

Što se paradoksa tiče, veoma važnu ulogu u matematici imao je poznati paradoks lažova, kao i čitav niz paradoksa u takozvanoj naivnoj (prethodnoj aksiomatskoj) teoriji skupova, što je izazvalo krizu temelja (jedan od ovi paradoksi su odigrali fatalnu ulogu u životu G. Fregea). Ali možda jedan od najpodcijenjenijih fenomena u modernoj matematici, koji se može nazvati i paradoksalnim i kritičnim, je rješenje Paula Cohena za Hilbertov prvi problem iz 1963. godine. Tačnije, ne činjenica same odluke, već priroda ove odluke.

Književnost

Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481--512, 1895.
I.N. Burova. Paradoksi teorije skupova i dijalektike. Nauka, 1976.
M.D. Potter. Teorija skupova i njena filozofija: kritički uvod. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
Žukov N.I. Filozofske osnove matematike. Mn.: Univerzitetskoe, 1990.
Feynman R.F., S. Ilyin. Vi se, naravno, šalite, gospodine Fejnmane!: avanture jednog neverovatnog čoveka, koje je ispričao R. Lejtonu. Kolibri, 2008.
O. M. Mizhevich. Dva načina za prevazilaženje paradoksa u G. Cantorovoj teoriji skupova. Logičke i filozofske studije, (3):279--299, 2005.
S. I. Masalova. FILOZOFIJA INTUICIONISTIČKE MATEMATIKE. Bilten DSTU, (4), 2006.
Čečulin V.L. Teorija skupova sa samopripadnošću (temelji i neke primjene). Perm. stanje univ. – Perm, 2012.
S. N. Tronin. Kratki zapisi predavanja iz discipline "Filozofija matematike". Kazanj, 2012.
Grišin V.N., Bočvar D.A. Istraživanje teorije skupova i neklasične logike. Nauka, 1976.
Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: ovaj beskrajni vijenac. Bakhrakh-M, 2001.
Kabakov F.A., Mendelson E. Uvod u matematičku logiku. Izdavačka kuća "Nauka", 1976.
DA. Bochvar. O pitanju paradoksa matematičke logike i teorije skupova. Matematička zbirka, 57(3):369--384, 1944.

Sadržaj članka

TEORIJA SKUPOVA. Skup se shvata kao kolekcija bilo kojih objekata koji se nazivaju elementi skupa. Teorija skupova se bavi proučavanjem svojstava kako proizvoljnih skupova tako i skupova posebnog tipa, bez obzira na prirodu njihovih sastavnih elemenata. Terminologija i mnogi rezultati ove teorije se široko koriste u matematici, kao što su račun, geometrija i teorija vjerovatnoće.

Terminologija.

Ako svaki element skupa B je element skupa A, zatim set B naziva se podskup skupa A. Na primjer, ako je set A sastoji se od brojeva 1, 2 i 3, tada ima 8 podskupova (tri sadrže 1 element, tri sadrže 2 elementa, jedan podskup je po definiciji sam skup A a osmi podskup je prazan skup koji ne sadrži elemente). Zapis x O A znači da x– element skupa A, A B M A- Šta B je podskup skupa A. Ako je univerzalni skup iz kojeg uzimamo elemente svih skupova označen sa I, zatim elementi koji pripadaju I, ali nije uključeno A, formiraju skup koji se zove komplement skupa A i određen C(A) ili Aý. Skup koji ne sadrži niti jedan element naziva se prazan skup.

Možete izvoditi operacije nad skupovima koji podsjećaju na operacije izvršene nad brojevima u aritmetici. Udruženje A B setovi A I B je skup koji se sastoji od svih elemenata koji pripadaju barem jednom od skupova A I B(element koji pripada skupovima A I B istovremeno se računa kada je uključeno A B samo jednom). Prelaskom A B setovi A I B je skup koji se sastoji od svih elemenata koji pripadaju oba A, dakle B. Pretpostavimo, na primjer, da je skup I sastoji se od svih slova ruske abecede, A- svih suglasnika, i mnogih B- od slova koja se nalaze u riječi “enciklopedija”. Onda sindikat A B sastoji se od svih slova abecede osim A, e, at, ʺ, b, s, Yu, raskrsnica A B- iz pisama d, To, l, n, P, ts, i dodatak C(A) – svih samoglasnika. Grana teorije skupova koja se bavi proučavanjem operacija nad skupovima naziva se algebra skupova. Prazan skup igra ulogu nule u algebri skupova i stoga se često označava simbolom O; Na primjer, A O = A, A O=O.

Boolean algebra.

Algebra skupova je pododeljak Bulovih algebri, koji se prvi put pojavio u delima J. Boolea (1815–1864). Aksiomi Bulove algebre odražavaju analogiju između pojmova "skup", "događaj" i "izjava". Logički iskazi se mogu pisati pomoću skupova i analizirati pomoću Bulove algebre.

Čak i bez detaljnog proučavanja zakona Booleove algebre, možemo dobiti ideju o tome kako se koristi na primjeru jednog od logičkih problema Lewisa Carrolla. Hajde da imamo određeni skup izjava:

2831. Nema mačića koji voli ribu i kojeg se ne može naučiti svakojakim smiješnim stvarima;

2. Nema mačića bez repa koji će se igrati sa gorilom;

3. Mačići sa brkovima uvijek vole ribu;

4. Ne postoji mače sa zelenim očima koje se može naučiti smiješnim stvarima;

5. Ne postoje mačići sa repovima već bez brkova.

Kakav zaključak se može izvući iz ovih izjava?

Razmotrite sljedeće skupove (univerzalni set I uključuje sve mačiće): A– mačići koji vole ribu; B– mačići uče smiješne stvari; D– mačići sa repovima; E– mačići koji će se igrati sa gorilom; F– mačići sa zelenim očima i G- mačići sa brkovima. Prva tvrdnja kaže da skup mačića koji vole ribu i dopuna skupa mačića koji uče smiješne stvari nemaju zajedničke elemente. Simbolično se ovo piše kao

Definicija 1.Mnogi je skup nekih objekata ujedinjenih u jednu cjelinu prema nekom svojstvu.

Objekti koji čine skup nazivaju se njegovim elementi.

Označeno velikim slovima latinice: A, B, …, X, Y, ..., a njihovi elementi su označeni odgovarajućim velikim slovima: a, b, …, x, y.

Definicija 1.1. Poziva se skup koji ne sadrži niti jedan element prazan i označen je simbolom Ø.

Skup se može specificirati nabrajanjem i opisom.

Primjer:; .

Definicija 1.2. Mnogi A naziva se podskup B, ako je svaki element skupa A je element skupa B. Simbolično je to naznačeno na sljedeći način: AB (A sadržano u B).

Definicija 1.3. Dva seta A I B su pozvani jednaka, ako se sastoje od istih elemenata: ( A =B).

Operacije na skupovima.

Definicija 1.4. Unija ili zbir skupova A I B je skup koji se sastoji od elemenata, od kojih svaki pripada barem jednom od ovih skupova.

Unija skupova se označava sa AB(ili A +B). Ukratko možemo napisati AB = .

AB= A +B

Ako B.A., To A +B=A

Definicija 1.5. Presjek ili proizvod skupova A I B je skup koji se sastoji od elemenata, od kojih svaki pripada skupu A i mnogi B istovremeno. Presek skupova je označen sa AB(ili A· B). Ukratko možemo napisati:

AB = .

AB =A · B

Ako B A, To A · B=B

Definicija 1.6. Postavite razliku A I B je skup, čiji je svaki element element skupa A i nije element skupa B. Skupna razlika je označena sa A\B. A-prioritet A\B = .

A\B = A–B

Pozivaju se skupovi čiji su elementi brojevi numerički.

Primjeri skupova brojeva su:

N =- skup prirodnih brojeva.

Z= - skup cijelih brojeva.

Q=- skup racionalnih brojeva.

R– skup realnih brojeva.

Gomila R sadrži racionalne i iracionalne brojeve. Svaki racionalni broj se izražava ili kao konačni decimalni razlomak ili kao beskonačan periodični razlomak. Dakle, ;… su racionalni brojevi.

Iracionalni broj se izražava kao beskonačan neperiodični decimalni razlomak. Dakle, = 1,41421356...; = 3,14159265.... je iracionalan broj.

K– skup kompleksnih brojeva (u obliku Z=a+ bi)

Definicija 1.7.Ɛ ‒ susjedstvo tačke x 0 se naziva simetričnim intervalom ( x 0 – Ɛ; x 0 + Ɛ), koji sadrži tačku x 0 .

Konkretno, ako interval ( x 0 –Ɛ; x 0 +Ɛ), onda nejednakost x 0 –Ɛ<x<x 0 +Ɛ, ili, što je isto, │ x– x 0 │<Ɛ. Uraditi ovo drugo znači pogoditi tačku x u Ɛ – susjedstvu tačke x 0 .

Primjer 1:

(2 – 0,1; 2 + 0,1) ili (1,9; 2,1) – Ɛ– susjedstvo.

│x– 2│< 0,1

–0,1<x – 2<0,1

2 –0,1<x< 2 + 0,1

1,9<x< 2,1

Primjer 2:

A– skup djelitelja 24;

B– skup djelitelja 18.

Priča

Naivna teorija skupova

Prva skica teorije skupova pripada Bernardu Bolzanu (Paradoksi beskonačnog, 1850). Ovaj rad razmatra proizvoljne (numeričke) skupove i definira koncept korespondencije jedan-na-jedan kako bi se uporedili.

Godine 1870., njemački matematičar Georg Cantor razvio je svoj program za standardizaciju matematike, u okviru kojeg je svaki matematički objekat morao biti jedan ili drugi „skup“. Ovaj pristup je prikazan u dva njegova članka objavljena 1879-1897 u poznatom njemačkom časopisu “Anali matematike” (njemački: Mathematical Annals). Mathematische Annalen ). Na primjer, prirodni broj, prema Cantoru, trebalo je smatrati skupom koji se sastoji od jednog elementa drugog skupa, nazvanog "prirodni niz" - koji je, zauzvrat, sam skup koji zadovoljava takozvane Peanoove aksiome . Istovremeno, opštem konceptu "skupa", koji je smatrao centralnim za matematiku, Cantor je dao malo definicija kao što je "skup je mnogo, zamišljen kao jedan", itd. Ovo je bilo sasvim u skladu sa mentalitetom samog Cantora, koji je svoj program izričito nazvao “teorijom skupova” (ovaj termin se pojavio mnogo kasnije), i nastave o setovima ( Mengenlehre).

Cantorov program izazvao je oštre proteste mnogih vodećih matematičara njegovog vremena. Leopold Kronecker se posebno isticao svojim nepomirljivim odnosom prema njemu, smatrajući da se samo prirodni brojevi i ono što je direktno svodivo na njih mogu smatrati matematičkim objektima (njegova poznata rečenica je da je „Bog stvorio prirodne brojeve, a sve ostalo je djelo ljudskih ruku ”). Takvi autoritativni matematičari kao što su Hermann Schwartz i Henri Poincaré također su potpuno odbacili teoriju skupova. Međutim, drugi veliki matematičari—posebno Gottlob Frege, Richard Dedekind i David Hilbert—podržali su Cantora u njegovoj namjeri da prevede svu matematiku na jezik teorije skupova. Konkretno, teorija skupova je postala temelj teorije mjere i integrala, topologije i funkcionalne analize.

Međutim, ubrzo je postalo jasno da je Cantorov stav prema neograničenoj proizvoljnosti kada radi sa beskonačnim skupovima (koje je sam izrazio u principu „suština matematike u njenoj slobodi“) inherentno pogrešan (vidi Krizu matematičkih temelja). Naime, otkriven je niz antinomija teorijske skupove: pokazalo se da se korištenjem teoretsko-teoretskih reprezentacija mogu dokazati neki iskazi zajedno sa njihovim poricanjima (i tada, prema pravilima klasične propozicionalne logike, apsolutno svaki iskaz može biti dokazan). "dokazan").

Aksiomatska teorija skupova

Karakteristika aksiomatskog pristupa je odbacivanje temeljne ideje Cantorovog programa o stvarnom postojanju skupova u nekom idealnom svijetu. U okviru aksiomatskih teorija, skupovi „postoje“ na čisto formalan način, a njihova „svojstva“ mogu značajno zavisiti od izbora aksiomatike. Ova činjenica je oduvijek bila meta kritika onih matematičara koji se nisu slagali (kao što je Hilbert insistirao) da prepoznaju matematiku kao igru simbola bez ikakvog sadržaja. Konkretno, N. N. Luzin je napisao da je „snaga kontinuuma, ako samo o njoj razmišljamo kao o skupu tačaka, jedinstvena stvarnost“, čije mesto u nizu kardinalnih brojeva ne može zavisiti od toga da li je hipoteza kontinuuma prepoznati kao aksiom ili njegovo poricanje.

Trenutno najčešća aksiomatska teorija skupova je ZFC - Zermelo-Fraenkel teorija sa aksiomom izbora. Pitanje konzistentnosti ove teorije (a još više, postojanja modela za nju) ostaje neriješeno.

Ne prihvataju svi matematičari bezuslovno aksiom izbora. Tako, na primjer, Emile Borel i Henri Lebesgue vjeruju da dokazi dobiveni korištenjem ovog aksioma imaju drugačiju kognitivnu vrijednost od dokaza neovisnih o tome. Drugi matematičari, kao što su Felix Hausdorff i Adolf Frenkel, prihvataju aksiom izbora bezuslovno, priznajući ga sa istim stepenom očiglednosti kao i drugi Zermelo-Frenkel aksiomi.

Osnovni koncepti

Teorija skupova zasniva se na sljedećim primarnim konceptima: gomila i stav biti element skupova (označeno kao - “x je element skupa A”, “x pripada skupu A”). Među izvedenim konceptima najvažniji su sljedeći:

prazan set, obično označen simbolom ;
porodica kompleta;
operacije:
Za skupove su definirane sljedeće binarne relacije:
- edit] Ekstenzije
  Glavni članak: Teorija skupova
  
  Teorija skupova je prirodno proširenje (generalizacija) teorije skupova. Poput skupa, skup je skup elemenata iz neke domene. Razlika od skupa: setovi dozvoljavaju prisustvo nekoliko instance istog elementa (element je uključen od nula puta, odnosno nije uključen u skup, do bilo kojeg zadanog broja puta). (vidi na primjer, Multikombinacije).
  
  Prijave
  
  vidi takođe
  
  Bilješke
  
  Književnost
  - K. Kuratovsky, A. Mostovsky Teorija skupova / Prevod s engleskog M. I. Kratko priredio A. D. Taimanov. - M.: Mir, 1970. - 416 str.
  - N. K. Vereshchagin, A. Shen. Predavanja iz matematičke logike i teorije algoritama. Dio 1. Počeci teorije skupova.
  - A. Frenkel, I. Bar-Hillel Osnove teorije skupova / Prevod s engleskog Yu. A. Gastev, priredio A. S. Yesenin-Volpin. - M.: Mir, 1966. - 556 str.

Wikimedia Foundation. 2010.

Matematička analiza
Podset

Pogledajte šta je “Teorija skupova” u drugim rječnicima:

TEORIJA SKUPOVA- TEORIJA SKUPOVA, grana matematike koja je započela radom Georgea BOOLLE-a na polju matematičke logike, ali se sada više povezuje sa proučavanjem SKUPOVA apstraktnih ili stvarnih objekata, a ne sa logičkim... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

teorija skupova- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Englesko-ruski rečnik elektrotehnike i energetike, Moskva, 1999.] Teme elektrotehnike, osnovni pojmovi EN teorija skupova... Vodič za tehnički prevodilac

TEORIJA SKUPOVA- teorija u kojoj se proučavaju skupovi (klase) elemenata proizvoljne prirode. Nastao prvenstveno po djelima Cantora (kao i R. Dedekinda i K. Weierstrassa), T. m. do kraja 19. stoljeća. postala osnova za konstruisanje matematičkih sistema koji su se do tog vremena razvili... ... Philosophical Encyclopedia

TEORIJA SKUPOVA- grana matematike koja proučava opšta svojstva skupova. Skup je svaka kombinacija u jednu cjelinu nekih specifičnih i različitih objekata naše percepcije ili mišljenja. U tehničkoj matematici proučavaju se opšta svojstva različitih operacija... ... Enciklopedijski rečnik psihologije i pedagogije

Kantorova teorija skupova- ... Wikipedia

Zermelo-Fraenkel teorija skupova- ... Wikipedia

Pregledi